📘 BÀI HỌC TOÁN 10: THỰC HÀNH TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
Chương IX: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển - Bài 27 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Sử dụng Sơ đồ cây tính xác suất
• Sơ đồ cây là công cụ trực quan giúp liệt kê đầy đủ và không trùng lặp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên qua nhiều giai đoạn liên tiếp.
• Thường áp dụng hiệu quả cho các bài toán có quy mô nhỏ, thử nghiệm từ 2 đến 3 bước (như tung đồng xu 2-3 lần, chọn liên tiếp 2 phần tử,...).
1. Giai đoạn 1: Vẽ các nhánh xuất phát từ nút gốc tương ứng với các kết quả của bước 1.
2. Giai đoạn 2 (và tiếp theo): Từ đầu mỗi nhánh của giai đoạn trước, vẽ tiếp các nhánh tương ứng với kết quả của bước tiếp theo.
3. Đếm & Đọc kết quả: Đếm số nhánh tận cùng để xác định \(n(\Omega)\) và đếm số nhánh thỏa mãn điều kiện của biến cố \(A\) để tìm \(n(A)\).
2. Phương pháp Tổ hợp và Quy tắc đếm
Đối với các phép thử chọn ngẫu nhiên đồng thời nhiều phần tử từ một tập hợp lớn, ta không thể dùng phương pháp liệt kê. Thay vào đó, ta áp dụng trực tiếp các công thức:
- Quy tắc cộng & Quy tắc nhân: Dùng để phân tích công việc thành các trường hợp riêng biệt hoặc các công đoạn liên tiếp.
- Chỉnh hợp (\(A_n^k\)): Khi chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử và CÓ quan tâm đến thứ tự (hoặc phân công vai trò khác nhau).
- Tổ hợp (\(C_n^k\)): Khi chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử và KHÔNG quan tâm đến thứ tự.
Phải đảm bảo tính nhất quán giữa việc đếm không gian mẫu \(n(\Omega)\) và đếm số kết quả thuận lợi \(n(A)\): Nếu \(n(\Omega)\) dùng Tổ hợp thì \(n(A)\) cũng phải dùng Tổ hợp (hoặc quy tắc đếm tương ứng).
3. Sử dụng Biến cố đối trong bài toán thực hành
Trong thực hành, ta nên ưu tiên sử dụng biến cố đối khi:
• Biến cố \(A\) bao gồm rất nhiều trường hợp phức tạp (ví dụ: "có ít nhất 1", "tối thiểu 1",...).
• Biến cố đối \(\overline{A}\) chỉ bao gồm 1 hoặc rất ít trường hợp đơn giản hơn nhiều (ví dụ: "không có học sinh nữ nào" hay "tất cả đều là nam").
4. Quy trình tổng quát giải bài toán xác suất
- Bước 1: Môt tả phép thử ngẫu nhiên và tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega)\).
- Bước 2: Gọi tên biến cố \(A\) cần tính xác suất.
- Bước 3: Sử dụng phương pháp thích hợp (Liệt kê, Sơ đồ cây, Quy tắc đếm, Tổ hợp, Biến cố đối) để tính số kết quả thuận lợi \(n(A)\).
- Bước 4: Áp dụng công thức định nghĩa cổ điển để tính xác suất: \[ P(A) = \displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)} \]
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Một hộp chứa 3 tấm thẻ đánh số 1, 2, 3. Rút ngẫu nhiên từng thẻ một, không hoàn lại 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng hai số ghi trên hai thẻ rút được là một số chẵn.
• Sơ đồ cây cho phép thử rút 2 thẻ không hoàn lại:
- Lần 1 rút thẻ 1 \(\rightarrow\) Lần 2 có thể rút: 2 hoặc 3 \(\rightarrow\) Cặp (1,2), (1,3)
- Lần 1 rút thẻ 2 \(\rightarrow\) Lần 2 có thể rút: 1 hoặc 3 \(\rightarrow\) Cặp (2,1), (2,3)
- Lần 1 rút thẻ 3 \(\rightarrow\) Lần 2 có thể rút: 1 hoặc 2 \(\rightarrow\) Cặp (3,1), (3,2)
• Không gian mẫu: \(\Omega = \{(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)\} \Rightarrow n(\Omega) = 6\).
• Gọi biến cố \(E\): "Tổng hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn".
• Các kết quả thuận lợi cho \(E\) là: \((1,3)\) và \((3,1) \Rightarrow n(E) = 2\).
• Xác suất của biến cố \(E\) là:
\[ P(E) = \displaystyle\frac{n(E)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{2}{6} = \displaystyle\frac{1}{3} \]Một đội ngũ y tế gồm 5 bác sĩ nam và 4 bác sĩ nữ. Chọn ngẫu nhiên một tổ công tác gồm 3 bác sĩ để đi hỗ trợ tuyến đầu. Tính xác suất để tổ công tác được chọn có cả bác sĩ nam và bác sĩ nữ.
• Tổng số bác sĩ là \(5 + 4 = 9\) người. Số cách chọn 3 bác sĩ bất kỳ từ 9 bác sĩ là:
\[ n(\Omega) = C_9^3 = 84 \]• Gọi biến cố \(A\): "Tổ công tác có cả bác sĩ nam và bác sĩ nữ".
• Cách 1 (Tính trực tiếp): Khảo sát các trường hợp thỏa mãn:
+ TH1: Chọn 2 nam và 1 nữ: có \(C_5^2 \cdot C_4^1 = 10 \cdot 4 = 40\) cách.
+ TH2: Chọn 1 nam và 2 nữ: có \(C_5^1 \cdot C_4^2 = 5 \cdot 6 = 30\) cách.
\(\Rightarrow n(A) = 40 + 30 = 70\) cách.
• Cách 2 (Sử dụng biến cố đối \(\overline{A}\)): Biến cố đối \(\overline{A}\): "Tổ công tác chỉ có nam hoặc chỉ có nữ".
+ Chọn 3 nam từ 5 nam: \(C_5^3 = 10\) cách.
+ Chọn 3 nữ từ 4 nữ: \(C_4^3 = 4\) cách.
\(\Rightarrow n(\overline{A}) = 10 + 4 = 14\) cách.
\(\Rightarrow P(\overline{A}) = \displaystyle\frac{14}{84} = \displaystyle\frac{1}{6}\).
• Xác suất của biến cố \(A\) là:
\[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{5}{6} \approx 0{,}833 \]Có 4 học sinh nam và 2 học sinh nữ được xếp ngẫu nhiên vào một hàng ngang gồm 6 ghế. Tính xác suất để 2 học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau.
• Số cách xếp 6 học sinh vào 6 ghế theo hàng ngang là:
\[ n(\Omega) = P_6 = 6! = 720 \quad \text{(cách).} \]• Gọi biến cố \(B\): "2 học sinh nữ ngồi cạnh nhau".
• Coi 2 học sinh nữ là một "phần tử đôi" \(X\).
• Số cách xếp nội bộ 2 bạn nữ trong phần tử \(X\) là: \(2! = 2\) cách.
• Bố trí phần tử \(X\) cùng với 4 bạn nam (tổng cộng 5 phần tử) vào hàng ngang có: \(5! = 120\) cách.
• Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho \(B\) là:
\[ n(B) = 2! \cdot 5! = 2 \cdot 120 = 240 \quad \text{(cách).} \]• Xác suất của biến cố \(B\) là:
\[ P(B) = \displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{240}{720} = \displaystyle\frac{1}{3} \]Bài 1: Tung một đồng xu cân đối 3 lần liên tiếp.
a) Vẽ sơ đồ cây mô tả không gian mẫu.
b) Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện ít nhất 2 lần.
Bài 2: Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ một túi đựng 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Tính xác suất để:
a) Lấy được đúng 3 viên bi đỏ.
b) Lấy được ít nhất 1 viên bi xanh.
Bài 3: Cho tập hợp \(A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ tập \(A\). Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Bài 4: Một nhóm gồm 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam nữ đứng xen kẽ nhau.