GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC BÀI 27: THỰC HÀNH TÍNH XÁC SUẤT THEO ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN
- \(A\): "Con đầu là gái";
- \(B\): "Có ít nhất một người con trai".
Kí hiệu T là con trai, G là con gái theo thứ tự sinh (con thứ nhất, con thứ hai, con thứ ba).
Không gian mẫu là:
\(\Omega = \{(T, T, T); (T, T, G); (T, G, T); (T, G, G); (G, T, T); (G, T, G); (G, G, T); (G, G, G)\}\)
\(\Rightarrow n(\Omega) = 8\).
-
a) Biến cố \(A\): "Con đầu là gái"
Các kết quả thuận lợi cho \(A\):
\(A = \{(G, T, T); (G, T, G); (G, G, T); (G, G, G)\} \Rightarrow n(A) = 4\).
Xác suất: \(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\). -
b) Biến cố \(B\): "Có ít nhất một người con trai"
Biến cố đối \(\overline{B}\): "Cả ba người con đều là gái".
\(\overline{B} = \{(G, G, G)\} \Rightarrow n(\overline{B}) = 1\).
Xác suất của biến cố đối: \(P(\overline{B}) = \frac{1}{8}\).
Xác suất của biến cố \(B\): \(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
- \(C\): "Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ";
- \(D\): "Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn".
Từ 10 đến 20 có tất cả 11 tấm thẻ (gồm 5 thẻ mang số lẻ là \(\{11; 13; 15; 17; 19\}\) và 6 thẻ mang số chẵn là \(\{10; 12; 14; 16; 18; 20\}\)).
Số cách rút 2 tấm thẻ từ 11 tấm thẻ là: \(n(\Omega) = C_{11}^2 = 55\).
-
a) Biến cố \(C\): "Cả hai thẻ rút được đều mang số lẻ"
Số cách chọn 2 thẻ từ 5 thẻ lẻ là: \(n(C) = C_5^2 = 10\).
Xác suất: \(P(C) = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}\). -
b) Biến cố \(D\): "Cả hai thẻ rút được đều mang số chẵn"
Số cách chọn 2 thẻ từ 6 thẻ chẵn là: \(n(D) = C_6^2 = 15\).
Xác suất: \(P(D) = \frac{15}{55} = \frac{3}{11}\).
Tổng số viên bi trong hộp là: \(6 + 4 + 2 = 12\) viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên 6 viên bi từ 12 viên bi là:
\(n(\Omega) = C_{12}^6 = 924\).
Gọi biến cố \(E\): "Trong 6 viên bi chọn ra có 3 viên bi trắng, 2 viên bi đỏ và 1 viên bi đen".
Số kết quả thuận lợi cho \(E\):
- Chọn 3 viên bi trắng từ 6 viên bi trắng: \(C_6^3 = 20\) cách.
- Chọn 2 viên bi đỏ từ 4 viên bi đỏ: \(C_4^2 = 6\) cách.
- Chọn 1 viên bi đen từ 2 viên bi đen: \(C_2^1 = 2\) cách.
Xác suất: \(P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \frac{240}{924} = \frac{20}{77}\).
- Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
- Tính xác suất của các biến cố sau:
\(F\): "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa";
\(G\): "Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5".
-
a) Sơ đồ hình cây:
Kí hiệu N là mặt ngửa, S là mặt sấp của đồng xu.┌─── N ─── (1, N) 1 ├─── S ─── (1, S) ├─── N ─── (2, N) 2 ├─── S ─── (2, S) ├─── N ─── (3, N) 3 ├─── S ─── (3, S) ├─── N ─── (4, N) 4 ├─── S ─── (4, S) ├─── N ─── (5, N) 5 ├─── S ─── (5, S) ├─── N ─── (6, N) 6 └─── S ─── (6, S)Không gian mẫu: \(\Omega = \{(1, N); (1, S); (2, N); (2, S); (3, N); (3, S); (4, N); (4, S); (5, N); (5, S); (6, N); (6, S)\}\).
\(\Rightarrow n(\Omega) = 12\). -
b) Tính xác suất:
- Biến cố \(F\): "Đồng xu xuất hiện mặt ngửa".
\(F = \{(1, N); (2, N); (3, N); (4, N); (5, N); (6, N)\} \Rightarrow n(F) = 6\).
\(P(F) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\).
- Biến cố \(G\): "Đồng xu xuất hiện mặt sấp hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5".
Các kết quả đồng xu xuất hiện mặt sấp: \((1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S)\) (6 kết quả).
Kết quả xúc xắc xuất hiện 5 chấm và đồng xu mặt ngửa: \((5, N)\) (1 kết quả).
\(G = \{(1, S); (2, S); (3, S); (4, S); (5, S); (6, S); (5, N)\} \Rightarrow n(G) = 7\).
\(P(G) = \frac{7}{12}\).
- Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các phần tử của không gian mẫu.
- Tính xác suất của biến cố "Hai bạn vào quán \(X\), bạn còn lại vào quán \(Y\)".
-
a) Sơ đồ hình cây:
Thứ tự chọn của (Sơn, Hải, Văn):┌── X ── (X, X, X) ┌── X ──┤ │ └── Y ── (X, X, Y) ── X ───┤ │ ┌── X ── (X, Y, X) └── Y ──┤ └── Y ── (X, Y, Y) ┌── X ──┬── X ── (Y, X, X) │ └── Y ── (Y, X, Y) ── Y ───┤ │ ┌── X ── (Y, Y, X) └── Y ──┤ └── Y ── (Y, Y, Y)Không gian mẫu gồm 8 phần tử:
\(\Omega = \{(X,X,X); (X,X,Y); (X,Y,X); (X,Y,Y); (Y,X,X); (Y,X,Y); (Y,Y,X); (Y,Y,Y)\}\).
\(\Rightarrow n(\Omega) = 8\). -
b) Tính xác suất:
Gọi biến cố \(H\): "Hai bạn vào quán \(X\), bạn còn lại vào quán \(Y\)".
Các kết quả thuận lợi cho \(H\):
\(H = \{(X, X, Y); (X, Y, X); (Y, X, X)\} \Rightarrow n(H) = 3\).
Xác suất: \(P(H) = \frac{3}{8}\).
Số kết quả có thể xảy ra khi gieo 2 con xúc xắc là: \(n(\Omega) = 6 \times 6 = 36\).
Gọi biến cố \(K\): "Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm".
Xét biến cố đối \(\overline{K}\): "Cả hai con xúc xắc đều không xuất hiện mặt 6 chấm".
Mỗi con xúc xắc không xuất hiện mặt 6 chấm có 5 khả năng (nhận các mặt 1, 2, 3, 4, 5).
Do đó: \(n(\overline{K}) = 5 \times 5 = 25\).
Xác suất của biến cố đối: \(P(\overline{K}) = \frac{25}{36}\).
Xác suất của biến cố \(K\): \(P(K) = 1 - P(\overline{K}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\).
Phép thử là cho lai hai loại đậu Hà Lan, trong đó cả cây bố và cây mẹ đều có kiểu gen là \((Aa, Bb)\) và kiểu hình là hạt màu vàng và trơn. Giả sử các kết quả có thể là đồng khả năng. Tính xác suất để cây con cũng có kiểu hình là hạt màu vàng và trơn.
Vì sự di truyền của các cặp gen quy định các tính trạng (màu hạt và hình dạng hạt) là độc lập với nhau, ta xét từng cặp gen riêng rẽ:
-
1. Xét cặp gen quy định màu hạt (\(Aa \times Aa\)):
Cây bố và cây mẹ đều cho các giao tử \(A\) và \(a\) với xác suất bằng nhau.
Cây con nhận các tổ hợp gen với xác suất:
\(AA\) (\(\frac{1}{4}\)), \(Aa\) (\(\frac{1}{2}\)), \(aa\) (\(\frac{1}{4}\)).
Kiểu hình hạt màu vàng tương ứng với kiểu gen có ít nhất một gen trội \(A\) (gồm \(AA\) và \(Aa\)).
Xác suất cây con có hạt màu vàng là: \(P_1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\). -
2. Xét cặp gen quy định hình dạng hạt (\(Bb \times Bb\)):
Tương tự, các tổ hợp gen của cây con:
\(BB\) (\(\frac{1}{4}\)), \(Bb\) (\(\frac{1}{2}\)), \(bb\) (\(\frac{1}{4}\)).
Kiểu hình hạt trơn tương ứng với kiểu gen có ít nhất một gen trội \(B\) (gồm \(BB\) và \(Bb\)).
Xác suất cây con có hạt trơn là: \(P_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\).
Tính xác suất chung:
Do hai tính trạng di truyền độc lập, xác suất để cây con có kiểu hình hạt màu vàng và trơn là:
\[P = P_1 \times P_2 = \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{16}\]