📘 BÀI HỌC TOÁN 10: BIẾN CỐ VÀ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT
Chương IX: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển - Bài 26 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phép thử ngẫu nhiên và Không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một hành động hay thực nghiệm mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là \(\Omega\) (đọc là Ô-mê-ga).
Số phần tử của không gian mẫu được ký hiệu là \(n(\Omega)\) hoặc \(|\Omega|\).
• Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Không gian mẫu là: \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) với \(n(\Omega) = 6\).
• Tung một đồng xu 2 lần. Không gian mẫu là: \(\Omega = \{\text{SS}, \text{SN}, \text{NS}, \text{NN}\}\) với \(n(\Omega) = 4\).
2. Biến cố
• Một biến cố (gọi đầy đủ là biến cố ngẫu nhiên) liên quan đến phép thử là một tập con của không gian mẫu \(\Omega\).
• Ta thường dùng các chữ cái in hoa \(A, B, C, \dots\) để ký hiệu biến cố.
Mỗi phần tử thuộc tập con \(A\) được gọi là một kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\). Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) được ký hiệu là \(n(A)\) hoặc \(|A|\).
• Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra, chính là tập không gian mẫu \(\Omega\).
• Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra, ký hiệu là tập rỗng \(\emptyset\).
• Biến cố đối: Cho biến cố \(A\). Biến cố "Không xảy ra \(A\)" được gọi là biến cố đối của \(A\), ký hiệu là \(\overline{A}\). Ta có: \(\overline{A} = \Omega \setminus A\).
3. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Giả sử phép thử có không gian mẫu \(\Omega\) gồm hữu hạn phần tử và các kết quả của phép thử có khả năng xuất hiện như nhau.
Xác suất của biến cố \(A\), ký hiệu là \(P(A)\), được xác định bởi công thức:
\[ P(A) = \displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho } A}{\text{Số kết quả có thể xảy ra}} \]1. \(0 \le P(A) \le 1\) với mọi biến cố \(A\).
2. Xác suất của biến cố không thể: \(P(\emptyset) = 0\).
3. Xác suất của biến cố chắc chắn: \(P(\Omega) = 1\).
4. Nguyên lý xác suất bé & Công thức biến cố đối
Cho biến cố \(A\). Xác suất của biến cố đối \(\overline{A}\) thỏa mãn:
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \quad \Leftrightarrow \quad P(A) = 1 - P(\overline{A}) \]Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì trong một thực nghiệm, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Khi bài toán yêu cầu tính xác suất của biến cố có các từ khóa như "có ít nhất", "tối thiểu", "không quá",... việc sử dụng biến cố đối \(\overline{A}\) thường đơn giản hơn nhiều so với việc tính trực tiếp biến cố \(A\).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một lần. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là số lẻ.
Không gian mẫu của phép thử gieo xúc xắc là:
\[ \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n(\Omega) = 6 \]Gọi biến cố \(A\): "Mặt xuất hiện có số chấm là số lẻ".
Các kết quả thuận lợi cho \(A\) là: \(A = \{1, 3, 5\} \Rightarrow n(A) = 3\).
Xác suất của biến cố \(A\) là:
\[ P(A) = \displaystyle\frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{3}{6} = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5 \]Một hộp chứa 5 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh có kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 2 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh.
• Tổng số quả cầu trong hộp là \(5 + 4 = 9\) quả.
• Số cách chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ 9 quả cầu là:
\[ n(\Omega) = C_9^3 = 84 \]• Gọi biến cố \(B\): "Lấy được 2 quả màu đỏ và 1 quả màu xanh".
• Số cách chọn 2 quả đỏ từ 5 quả đỏ là: \(C_5^2 = 10\).
• Số cách chọn 1 quả xanh từ 4 quả xanh là: \(C_4^1 = 4\).
• Theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là:
\[ n(B) = C_5^2 \cdot C_4^1 = 10 \cdot 4 = 40 \]• Xác suất của biến cố \(B\) là:
\[ P(B) = \displaystyle\frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{40}{84} = \displaystyle\frac{10}{21} \approx 0{,}476 \]Một tổ học sinh gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để chọn được ít nhất 1 học sinh nữ.
• Tổng số học sinh là \(6 + 4 = 10\). Số cách chọn 3 học sinh bất kỳ là:
\[ n(\Omega) = C_{10}^3 = 120 \]• Gọi biến cố \(C\): "Chọn được ít nhất 1 học sinh nữ".
• Biến cố đối \(\overline{C}\): "Không chọn được học sinh nữ nào" (nghĩa là chọn cả 3 học sinh nam).
• Số kết quả thuận lợi cho \(\overline{C}\) là chọn 3 nam từ 6 nam:
\[ n(\overline{C}) = C_6^3 = 20 \]• Xác suất của biến cố đối \(\overline{C}\) là:
\[ P(\overline{C}) = \displaystyle\frac{n(\overline{C})}{n(\Omega)} = \displaystyle\frac{20}{120} = \displaystyle\frac{1}{6} \]• Suy ra xác suất của biến cố \(C\) là:
\[ P(C) = 1 - P(\overline{C}) = 1 - \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{5}{6} \approx 0{,}833 \]Bài 1: Tung hai đồng xu cân đối đồng thời. Tính xác suất để:
a) Cả hai đồng xu đều sấp.
b) Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt sấp.
Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2 chữ số. Tính xác suất để số được chọn:
a) Là số chia hết cho 5.
b) Có hai chữ số giống nhau.
Bài 3: Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên từ bình ra 4 viên bi. Tính xác suất để:
a) Lấy được đúng 2 viên bi trắng.
b) Lấy được ít nhất 1 viên bi đen.
Bài 4: Cho tập hợp \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Chọn ngẫu nhiên từ tập \(S\) một số có 3 chữ số khác nhau. Tính xác suất để số lập được là một số chia hết cho 2.