Lời giải:

Ta có véc‑tơ chỉ phương $ \vec{u}=\overrightarrow{AB}=(3-1,-1-2)=(2,-3)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $AB$: \[\begin{cases} x=1+2t\\ y=2-3t\\ \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.\]

Để viết phương trình tổng quát, loại bỏ tham số $t$. Từ $x=1+2t$ và $y=2-3t$ suy ra: \[ t=\frac{x-1}{2}=\frac{2-y}{3}.\] Suy ra phương trình tổng quát: \[ 3(x-1)=2(2-y)\;\Longrightarrow\; 3x-3=4-2y\;\Longrightarrow\; 3x+2y-7=0.\]

Lời giải:

Véc‑tơ pháp tuyến có thể lấy là \[\vec{n}=(2,-3). \] Véc‑tơ chỉ phương vuông góc với $\vec{n}$: chọn $\vec{u}=(3,2)$ (hoặc $\vec{u}=(3,2)$ là một lựa chọn vì $\vec{u}\cdot\vec{n}=3\cdot2+2\cdot(-3)=0$).

Phương trình tham số: lấy một điểm thuộc đường thẳng, ví dụ chọn $x=0$ thì $-3y+4=0\Rightarrow y=\tfrac{4}{3}$, vậy điểm $M(0,\tfrac{4}{3})$ thuộc d. \[\begin{cases} x=0+3t\\ y=\tfrac{4}{3}+2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}. \]

Lời giải:

Ta so sánh véc‑tơ pháp tuyến: $\vec{n}_1=(1,-2)$ và $\vec{n}_2=(2,-4)$. Rõ ràng $\vec{n}_2=2\vec{n}_1$, nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Kiểm tra hằng số: vì $d_2$ không phải là bội của $d_1$ về hằng số tự do (nếu nhân phương trình $d_1$ lên 2 ta được $2x-4y+2=0$ khác với $2x-4y+5=0$), nên hai đường thẳng song song khác nhau (không trùng nhau).

Lời giải:

Véc‑tơ pháp tuyến là $\vec{n}_1=(3,-1)$ và $\vec{n}_2=(1,2)$. Góc $\theta$ giữa hai đường thẳng bằng góc giữa các véc‑tơ pháp tuyến hoặc giữa các véc‑tơ chỉ phương. Công thức: \[ \tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right| \] nhưng ở đây ta dùng công thức dựa trên tích vô hướng: \[ \cos\theta=\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\|\,\|\vec{n}_2\|}.\] Ta có $\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=3\cdot1+(-1)\cdot2=3-2=1$. \[\|\vec{n}_1\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10},\quad \|\vec{n}_2\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}.\] Vậy \[ \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}.\] Suy ra $\theta=\arccos\left(\dfrac{1}{5\sqrt{2}}\right)$ (hoặc tính xấp xỉ nếu cần).

Lời giải:

Công thức khoảng cách từ điểm $P(x_0,y_0)$ tới đường thẳng $ax+by+c=0$ là: \[ d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.\] Với $a=2,b=-3,c=6$ và $P(4,1)$ ta có: \[ |2\cdot4+(-3)\cdot1+6|=|8-3+6|=|11|=11.\] \[ \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.\] Vậy khoảng cách $d=\dfrac{11}{\sqrt{13}}$.