Giải:

Ta có: \[ \vec{AB} = (x_B - x_A; \; y_B - y_A) = (3 - 1;\; -1 - 2) = (2;\; -3), \] \[ \vec{AC} = (x_C - x_A;\; y_C - y_A) = (5 - 1;\; 2 - 2) = (4;\; 0), \] \[ \vec{BC} = (x_C - x_B;\; y_C - y_B) = (5 - 3;\; 2 - (-1)) = (2;\; 3). \]

Giải:

Ta có: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(3-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{13}, \] \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(5-3)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{13}, \] \[ CA = \sqrt{(x_A - x_C)^2 + (y_A - y_C)^2} = \sqrt{(1-5)^2 + (2-2)^2} = 4. \] Vậy chu vi tam giác là: \[ P = AB + BC + CA = \sqrt{13} + \sqrt{13} + 4 = 2\sqrt{13} + 4. \]

Giải:

Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $CA$, $AB$. Khi đó: \[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{3 + 5}{2}; \frac{-1 + 2}{2}\right) = (4;\; 0.5), \] \[ N\left(\frac{x_C + x_A}{2}; \frac{y_C + y_A}{2}\right) = \left(\frac{5 + 1}{2}; \frac{2 + 2}{2}\right) = (3;\; 2), \] \[ P\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1 + 3}{2}; \frac{2 + (-1)}{2}\right) = (2;\; 0.5). \] Trọng tâm $G$ của tam giác là: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{1 + 3 + 5}{3}; \frac{2 - 1 + 2}{3}\right) = (3;\; 1). \]

Giải:

a) $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-3);\; -1 + 4) = (-1;\; 3)$.
b) $\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-3);\; -1 - 4) = (5;\; -5)$.
c) $2\vec{a} + 3\vec{b} = 2(2;\; -1) + 3(-3;\; 4) = (4;\; -2) + (-9;\; 12) = (-5;\; 10)$.
d) Ta có: \[ \vec{a}\cdot\vec{b} = 2\cdot(-3) + (-1)\cdot4 = -6 - 4 = -10, \] \[ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5. \] Suy ra: \[ \cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-10}{5\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}. \] Vậy góc giữa hai vectơ là: \[ \varphi = \arccos\!\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right). \]