BÀI 1. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ
a. Trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắc là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm \(O\) (gọi là điểm gốc) và một vectơ \(\vec{e}\) có độ dài bằng \(1\) gọi là vectơ đơn vị của trục. Kí hiệu \(\left(O;\vec{e}\right)\).
b. Hệ trục tọa độ
❖ Hệ trục tọa độ kí hiệu là \(Oxy\).
❖ \(Ox, Oy\) lần lượt là trục hoành, trục tung.
❖ \(\vec{i}, \vec{j}\) lần lượt là vectơ đơn vị trên trục hoành, trục tung.
c. Tọa độ của một vectơ
\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\Leftrightarrow \vec{a}=(x;y)\)
Ví dụ 1: \(\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}\Rightarrow\vec{a}=(2;-3)\).
Ví dụ 2: Cho \(\vec{a}=(3x-y;x+2y)\) và \(\vec{b}=(1;5)\) với \(x,y\in\mathbb{R}\), biết \(\vec{a}=\vec{b}\). Tìm \(x, y\).
d. Tọa độ của một điểm
\(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}\Leftrightarrow M(x;y)\)
Ví dụ 3: \(\overrightarrow{OM}=5\vec{i}-\vec{j}\Rightarrow M(5;-1)\)
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ \(\vec{a}=\left(a_1;a_2\right), \vec{b}=\left(b_1;b_2\right)\) và số thực \(k\). Khi đó:
1) \(\vec{a}+\vec{b}=\left(a_1+b_1;a_2+b_2\right)\)
2) \(\vec{a}-\vec{b}=\left(a_1-b_1;a_2-b_2\right)\)
3) \(k\vec{a}=\left(ka_1;ka_2\right)\)
4) \(\vec{a}.\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2\)
Ví dụ 4: cho hai vectơ \(\vec{a}=(2;3), \vec{b}=(5;-4)\).
a) Tìm tọa độ các vectơ \(\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}, 6\vec{a}, -3\vec{b}\);
b) Tính các tích vô hướng \(\vec{a}.\vec{b}, \left(2\vec{a}\right).\left(-\vec{b}\right)\).
3. Áp dụng của tọa độ vectơ
a. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A\right), B\left(x_B;y_B\right)\). Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)\)
Ví dụ 5: Cho \(M(2;3)\), \(N(-1;5)\), \(P(4;0)\). Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{PM}\), \(\overrightarrow{NP}\).
b. Tọa độ trung điểm
Cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\) và \(B\left(x_B;y_B\right)\). Nếu \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) thì \(M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left(x_A;y_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B\right)\), \(C\left(x_C;y_C\right)\). Nếu \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì \(G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\).
c. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Nội dung.
