Câu 1. Trong khai triển nhị thức Newton \((a + b)^4\), số các số hạng của khai triển là:
Giải thích: Trong khai triển nhị thức Newton \((a + b)^n\), số các số hạng thu được luôn là \(n + 1\).
Với \(n = 4\), số các số hạng là \(4 + 1 = 5\).
Câu 2. Khai triển nhị thức Newton của \((x + 1)^4\) là:
Giải thích: Ta có:
\((x + 1)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 + C_4^2 x^2 + C_4^3 x + C_4^4\)
\(= 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 + 6 \cdot x^2 + 4 \cdot x + 1 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\).
Câu 3. Hệ số của số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển \((x + 2)^5\) là:
Giải thích: Số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển \((x + 2)^5\) ứng với công thức \(C_5^2 x^3 \cdot 2^2\).
Hệ số là: \(C_5^2 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40\).
Câu 4. Trong khai triển \((2x - 1)^4\), số hạng thứ 3 (theo thứ tự số mũ của \(x\) giảm dần) là:
Giải thích: Khai triển \((2x - 1)^4 = C_4^0 (2x)^4 + C_4^1 (2x)^3(-1) + C_4^2 (2x)^2(-1)^2 + \dots\)
Số hạng thứ 3 là: \(C_4^2 (2x)^2(-1)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 1 = 24x^2\).
Câu 5. Tổng tất cả các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \((x + 1)^5\) bằng:
Giải thích: Để tính tổng các hệ số trong khai triển \((x + 1)^5\), ta cho \(x = 1\):
Tổng các hệ số \(= (1 + 1)^5 = 2^5 = 32\).
Câu 6. Tìm hệ số của \(x^2\) trong khai triển \((3 - 2x)^4\).
Giải thích: Số hạng chứa \(x^2\) trong khai triển \((3 - 2x)^4\) là:
\(C_4^2 \cdot 3^{4-2} \cdot (-2x)^2 = 6 \cdot 3^2 \cdot 4x^2 = 6 \cdot 9 \cdot 4x^2 = 216x^2\).
Do đó hệ số là 216.
Câu 7. Trong khai triển \((x - 2y)^5\), hệ số của số hạng chứa \(xy^4\) là:
Giải thích: Số hạng chứa \(xy^4\) ứng với lũy thừa bậc 4 của \((-2y)\):
\(C_5^4 \cdot x \cdot (-2y)^4 = 5 \cdot x \cdot 16y^4 = 80xy^4\).
Hệ số thu được là 80.
Câu 8. Giá trị của biểu thức $S = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$ bằng:
Giải thích: Áp dụng khai triển \((1 + 1)^n = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n\).
Thay \(n = 5\) ta có: \(S = (1 + 1)^5 = 2^5 = 32\).
Câu 9. Khai triển \((2x + 1)^5\) có số hạng không chứa \(x\) (số hạng tự do) là:
Giải thích: Số hạng không chứa \(x\) ứng với số hạng chứa \(x^0\), chính là số hạng cuối cùng:
\(C_5^5 \cdot 1^5 = 1 \cdot 1 = 1\).
Câu 10 Thực tế. Một nhà đầu tư gửi tiền tiết kiệm với lãi kép $8\%$/năm. Sau $5$ năm, số tiền cả gốc lẫn lãi thu được tính theo công thức $T = P(1 + 0{,}08)^5$, trong đó $P$ là số tiền gốc ban đầu. Sử dụng nhị thức Newton để ước tính tỉ lệ tăng trưởng tổng tiền $T/P$ gần nhất với giá trị nào sau đây?
Giải thích: Tỉ lệ tăng trưởng là \(\frac{T}{P} = (1 + 0{,}08)^5\).
Áp dụng khai triển nhị thức Newton cho \((1 + x)^5\) với \(x = 0{,}08\):
\((1 + x)^5 = C_5^0 + C_5^1 x + C_5^2 x^2 + C_5^3 x^3 + C_5^4 x^4 + C_5^5 x^5\)
\(= 1 + 5(0{,}08) + 10(0{,}08)^2 + 10(0{,}08)^3 + 5(0{,}08)^4 + (0{,}08)^5\)
\(= 1 + 0{,}4 + 10(0{,}0064) + 10(0{,}000512) + \dots\)
\(= 1 + 0{,}4 + 0{,}064 + 0{,}00512 + \dots \approx 1{,}469 \approx 1{,}47\).