📘 BÀI HỌC TOÁN 10: NHỊ THỨC NEWTON
Chương VIII: Đại số tổ hợp - Bài 25 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khai triển Nhị thức Newton với \(n = 4\)
Thay giá trị các số tổ hợp \(C_4^0 = 1, C_4^1 = 4, C_4^2 = 6, C_4^3 = 4, C_4^4 = 1\), ta thu được:
\[ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \]Bằng cách thay \(b\) bởi \(-b\), các số hạng chứa số mũ lẻ của \(b\) sẽ mang dấu âm:
\[ (a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 \]2. Khai triển Nhị thức Newton với \(n = 5\)
Thay giá trị các số tổ hợp \(C_5^0 = 1, C_5^1 = 5, C_5^2 = 10, C_5^3 = 10, C_5^4 = 5, C_5^5 = 1\), ta thu được:
\[ (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \]Thay \(b\) bởi \(-b\), dấu của các số hạng sẽ xen kẽ giữa dương và âm:
\[ (a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5 \]3. Tam giác Pascal & Nhận xét cấu trúc khai triển
- Số các số hạng trong khai triển bằng \(n + 1\) (với \(n = 4\) có 5 số hạng; với \(n = 5\) có 6 số hạng).
- Số mũ của \(a\) giảm dần từ \(n\) đến \(0\); số mũ của \(b\) tăng dần từ \(0\) đến \(n\).
- Tổng số mũ của \(a\) và \(b\) trong mỗi số hạng luôn bằng \(n\).
- Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: \(C_n^k = C_n^{n-k}\).
\(n = 1\): 1 1
\(n = 2\): 1 2 1
\(n = 3\): 1 3 3 1
\(n = 4\): 1 4 6 4 1
\(n = 5\): 1 5 10 10 5 1
4. Tóm tắt công thức khai triển
| Số mũ \(n\) | Khai triển \((a + b)^n\) | Khai triển \((a - b)^n\) |
|---|---|---|
| \(n = 4\) | \(a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\) | \(a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\) |
| \(n = 5\) | \(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5\) | \(a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5\) |
• Để tính tổng tất cả các hệ số trong khai triển, ta cho \(a = 1, b = 1\):
\(C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 2^4 = 16\)
\(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 2^5 = 32\)
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Khai triển các biểu thức sau:
a) \((x + 2)^4\)
b) \((2x - 1)^5\)
a) Áp dụng công thức khai triển \((a + b)^4\) với \(a = x, b = 2\):
\[ (x + 2)^4 = x^4 + 4x^3 \cdot 2 + 6x^2 \cdot 2^2 + 4x \cdot 2^3 + 2^4 \] \[ = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \]b) Áp dụng công thức khai triển \((a - b)^5\) với \(a = 2x, b = 1\):
\[ (2x - 1)^5 = (2x)^5 - 5(2x)^4(1) + 10(2x)^3(1)^2 - 10(2x)^2(1)^3 + 5(2x)(1)^4 - 1^5 \] \[ = 32x^5 - 5(16x^4) + 10(8x^3) - 10(4x^2) + 10x - 1 \] \[ = 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1 \]Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức \((3x - 2)^4\).
Áp dụng khai triển \((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\) với \(a = 3x\) và \(b = 2\).
Số hạng chứa \(x^3\) ứng với số hạng thứ hai: \(-4a^3b\).
Thay \(a = 3x, b = 2\) vào số hạng này, ta được:
\[ -4 \cdot (3x)^3 \cdot 2 = -4 \cdot 27x^3 \cdot 2 = -216x^3 \]Vậy hệ số của \(x^3\) trong khai triển là \(-216\).
Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \((1 + 0{,}02)^5\) để tính giá trị gần đúng của \(1{,}02^5\).
Khai triển \((1 + x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5\).
Với \(x = 0{,}02\), sử dụng hai số hạng đầu tiên ta có:
\[ (1 + 0{,}02)^5 \approx 1 + 5 \cdot (0{,}02) = 1 + 0{,}10 = 1{,}10 \](Giá trị chính xác của \(1{,}02^5 \approx 1{,}10408\), sự chênh lệch là rất nhỏ).
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) \((x + 3)^5\)
b) \((x - 2y)^4\)
c) \(\left(x + \displaystyle\frac{1}{x}\right)^4\)
Bài 2: Tìm hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((2x - 3)^5\).
Bài 3: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển của \(\left(x - \displaystyle\frac{2}{x}\right)^4\).
Bài 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển của biểu thức \((3x - 1)^5\).