GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC Bài 25: Nhị thức Newton (Trang 75 - Tập 2)

• a) Áp dụng công thức nhị thức Newton với \(n = 4\):
  \((x - 3)^4 = x^4 + 4x^3(-3) + 6x^2(-3)^2 + 4x(-3)^3 + (-3)^4\)
  \(= x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81\).
• b) Áp dụng công thức nhị thức Newton với \(n = 4\):
  \((3x - 2y)^4 = (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4\)
  \(= 81x^4 + 4 \cdot 27x^3(-2y) + 6 \cdot 9x^2 \cdot 4y^2 + 4 \cdot 3x(-8y^3) + 16y^4\)
  \(= 81x^4 - 216x^3y + 216x^2y^2 - 96xy^3 + 16y^4\).
• c) Khai triển từng biểu thức:
  \((x + 5)^4 = x^4 + 4x^3(5) + 6x^2(5^2) + 4x(5^3) + 5^4 = x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625\).
  \((x - 5)^4 = x^4 - 4x^3(5) + 6x^2(5^2) - 4x(5^3) + 5^4 = x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625\).
  Cộng hai khai triển lại ta được:
  \((x + 5)^4 + (x - 5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1250\).
• d) Áp dụng công thức nhị thức Newton với \(n = 5\):
  \((x - 2y)^5 = x^5 + 5x^4(-2y) + 10x^3(-2y)^2 + 10x^2(-2y)^3 + 5x(-2y)^4 + (-2y)^5\)
  \(= x^5 - 10x^4y + 40x^3y^2 - 80x^2y^3 + 80xy^4 - 32y^5\).

Áp dụng khai triển nhị thức Newton cho \((3x - 1)^5\):

\((3x - 1)^5 = (3x)^5 + 5(3x)^4(-1) + 10(3x)^3(-1)^2 + 10(3x)^2(-1)^3 + 5(3x)(-1)^4 + (-1)^5\)

Số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển là: \(5(3x)^4(-1) = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-1) = -405x^4\).

Vậy hệ số của \(x^4\) trong khai triển là \(-405\).

Khai triển các nhị thức Newton:

\((3 + \sqrt{2})^5 = 3^5 + 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot (\sqrt{2})^2 + 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^4 + (\sqrt{2})^5\)

\((3 - \sqrt{2})^5 = 3^5 - 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^3 \cdot (\sqrt{2})^2 - 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + 5 \cdot 3 \cdot (\sqrt{2})^4 - (\sqrt{2})^5\)

Trừ hai biểu thức cho nhau, các số hạng bậc chẵn của \(\sqrt{2}\) sẽ triệt tiêu:

\((3 + \sqrt{2})^5 - (3 - \sqrt{2})^5 = 2 \left[ 5 \cdot 3^4 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 3^2 \cdot (\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2})^5 \right]\)

Vì \((\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2}\) và \((\sqrt{2})^5 = 4\sqrt{2}\), ta có:

\(= 2 \left[ 5 \cdot 81 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 9 \cdot 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \right]\)
\(= 2 \left[ 405\sqrt{2} + 180\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \right]\)
\(= 2 \cdot (589\sqrt{2}) = 1178\sqrt{2}\).

Dưới dạng \(a + b\sqrt{2}\), ta được: \(0 + 1178\sqrt{2}\) (với \(a = 0\) và \(b = 1178\)).

• a) Khai triển \((1 + 0{,}02)^5\) theo nhị thức Newton:
  \((1 + 0{,}02)^5 = 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot 0{,}02 + 10 \cdot 1^3 \cdot (0{,}02)^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot (0{,}02)^3 + 5 \cdot 1 \cdot (0{,}02)^4 + (0{,}02)^5\)
  Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển:
  \(1{,}02^5 \approx 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot 0{,}02 = 1 + 0{,}1 = 1{,}1\).
• b)
  Dùng máy tính cầm tay, ta tính được: \(1{,}02^5 = 1{,}1040808032\).
  Sai số tuyệt đối là:
  \(\Delta = |1{,}1040808032 - 1{,}1| = 0{,}0040808032 \approx 0{,}004\).

• a)
  - Số dân của tỉnh sau 1 năm là:
  \(P_1 = 800 + 800 \cdot r\% = 800 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)\) (nghìn người).
  
  - Số dân của tỉnh sau 2 năm là:
  \(P_2 = P_1 + P_1 \cdot r\% = P_1 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right) = 800 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^2\) (nghìn người).
  
  - Từ đó suy ra, công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:
  \(P = 800 \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^5\) (nghìn người).
• b) Với \(r = 1{,}5\%\), ta có \(\dfrac{r}{100} = 0{,}015\).
  Khi đó: \(P = 800(1 + 0{,}015)^5\).
  Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \((1 + 0{,}015)^5\):
  \((1 + 0{,}015)^5 \approx 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot 0{,}015 = 1 + 0{,}075 = 1{,}075\).
  Ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:
  \(P \approx 800 \cdot 1{,}075 = 860\) (nghìn người).