Câu 1. Có bao nhiêu cách xếp 6 học sinh thành một hàng ngang?
Giải thích: Số cách xếp 6 học sinh thành một hàng ngang là số hoán vị của 6 phần tử:
\(P_6 = 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720\) cách.
Câu 2. Từ một tập hợp gồm 10 phần tử, có bao nhiêu cách chọn ra 3 phần tử **có xếp thứ tự**?
Giải thích: Chọn 3 phần tử từ 10 phần tử và có phân biệt thứ tự là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử:
\(A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\) cách.
Câu 3. Một tổ gồm 8 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi trực nhật mà **không phân biệt thứ tự hay nhiệm vụ**?
Giải thích: Tổng số học sinh trong tổ là \(8 + 6 = 14\) học sinh.
Chọn 4 học sinh từ 14 học sinh không phân biệt thứ tự là một tổ hợp chập 4 của 14:
\(C_{14}^4 = \frac{14!}{4! \times 10!} = 1001\) cách.
Câu 4. Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm đã cho?
Giải thích: Cứ 3 điểm không thẳng hàng tạo thành 1 tam giác. Thứ tự chọn 3 đỉnh không làm thay đổi tam giác đó.
Do đó số tam giác tạo thành là số tổ hợp chập 3 của 10:
\(C_{10}^3 = \frac{10!}{3! \times 7!} = 120\) tam giác.
Câu 5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số **khác nhau** được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Giải thích: Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử (vì có tính thứ tự vị trí các chữ số):
\(A_7^4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840\) số.
Câu 6. Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán có 5 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Cần chọn ra 3 học sinh sao cho có **ít nhất 1 học sinh nữ**. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải thích: Sử dụng phương pháp biến cố đối:
- Tổng số cách chọn 3 học sinh bất kỳ từ 9 học sinh (\(5+4=9\)): \(C_9^3 = 84\) cách.
- Số cách chọn 3 học sinh toàn nam (không có nữ nào): \(C_5^3 = 10\) cách.
- Số cách chọn có ít nhất 1 nữ: \(84 - 10 = 74\) cách.
Câu 7. Đẳng thức nào sau đây là **đúng** với mọi \(1 \le k \le n\) (\(k, n \in \mathbb{N}\))?
Giải thích: Ta có mối liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp là \(A_n^k = k! \cdot C_n^k\) (vì \(C_n^k = \frac{A_n^k}{k!}\)). Phương án C đúng.
Câu 8. Xếp 5 bạn A, B, C, D, E ngồi vào một dãy gồm 5 ghế hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho **A và B luôn ngồi cạnh nhau**?
Giải thích: Phương pháp buộc/buộc phần tử:
- Coi (A, B) là 1 khối duy nhất. Lúc này cần xếp khối này và 3 bạn C, D, E (tổng cộng 4 phần tử) vào 4 vị trí: có \(4! = 24\) cách.
- Trong khối (A, B), hai bạn A và B có thể hoán đổi vị trí cho nhau: có \(2! = 2\) cách.
- Theo quy tắc nhân: \(24 \times 2 = 48\) cách.
Câu 9. Số giá trị của \(n \in \mathbb{N}^*\) thỏa mãn phương trình \(A_n^2 - C_n^2 = 15\) là:
Giải thích: Điều kiện \(n \ge 2\).
Ta có \(A_n^2 = n(n-1)\) và \(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\).
Phương trình trở thành: \(n(n-1) - \frac{n(n-1)}{2} = 15 \Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{2} = 15 \Leftrightarrow n^2 - n - 30 = 0\).
Giải phương trình thu được \(n = 6\) (thỏa mãn) hoặc \(n = -5\) (loại). Vậy chỉ có **1** giá trị của \(n\) thỏa mãn.
Câu 10 Thực tế. Một giải bóng đá vô địch quốc gia gồm 12 đội tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm 2 lượt (lượt đi và lượt về trên sân nhà - sân khách). Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu được diễn ra trong toàn bộ giải đấu?
Giải thích: Mỗi trận đấu thi đấu theo lượt đi/lượt về giữa hai đội A và B được phân biệt rõ ràng (đội đá sân nhà - đội đá sân khách).
Do đó, chọn 2 đội tham gia 1 trận đấu từ 12 đội là một **chỉnh hợp chập 2 của 12 đội**:
\(A_{12}^2 = 12 \times 11 = 132\) trận đấu.