📘 BÀI HỌC TOÁN 10: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
Chương VIII: Đại số tổ hợp - Bài 24 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Hoán vị
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.
Ký hiệu \(P_n\) là số các hoán vị của \(n\) phần tử.
\[ P_n = n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1 \]• \(n!\) đọc là "n giai thừa".
• Quy ước: \(0! = 1\).
• Hoán vị áp dụng khi lấy TOÀN BỘ \(n\) phần tử và CÓ phân biệt thứ tự.
2. Chỉnh hợp
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử và một số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đó.
Ký hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
\[ A_n^k = \displaystyle\frac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdots (n - k + 1) \]• Nhận xét: \(A_n^n = P_n = n!\).
• Chỉnh hợp dùng khi chọn MỘT PHẦN (\(k\) phần tử) và CÓ sắp xếp thứ tự (hoặc gán vai trò khác nhau cho các phần tử).
3. Tổ hợp
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử và một số nguyên \(k\) với \(0 \le k \le n\). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đó.
Ký hiệu \(C_n^k\) là số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
\[ C_n^k = \displaystyle\frac{n!}{k!(n - k)!} \quad (0 \le k \le n) \]• Mối liên hệ với Chỉnh hợp: \(A_n^k = k! \cdot C_n^k\).
• Tính chất đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n-k}\) với \(0 \le k \le n\).
• Công thức Pascal: \(C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}\) với \(0 \le k < n\).
4. So sánh Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp
| Khái niệm | Hoán vị (\(P_n\)) | Chỉnh hợp (\(A_n^k\)) | Tổ hợp (\(C_n^k\)) |
|---|---|---|---|
| Số lượng lấy ra | Lấy tất cả \(n\) phần tử. | Lấy \(k\) phần tử (\(1 \le k \le n\)). | Lấy \(k\) phần tử (\(0 \le k \le n\)). |
| Thứ tự / Vai trò | CÓ phân biệt thứ tự. | CÓ phân biệt thứ tự (hoặc vai trò khác nhau). | KHÔNG phân biệt thứ tự (vai trò bình đẳng). |
| Công thức | \(P_n = n!\) | \(A_n^k = \displaystyle\frac{n!}{(n-k)!}\) | \(C_n^k = \displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\) |
| Mô hình thực tế | Xếp \(n\) bạn vào một hàng ngang. | Chọn 3 bạn làm Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. | Chọn 3 bạn đi trực nhật (vai trò như nhau). |
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Có 6 học sinh xếp thành một hàng ngang để chụp ảnh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
Mỗi cách xếp 6 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 6 phần tử.
Số cách xếp là:
\[ P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \quad \text{(cách).} \]Một lớp học có 30 học sinh. Nhà trường cần:
a) Chọn ra 3 học sinh làm 3 nhiệm vụ khác nhau: 1 Lớp trưởng, 1 Lớp phó và 1 Bí thư.
b) Chọn ra 3 học sinh để tham gia đội tình nguyện của trường.
a) Việc chọn 3 học sinh và phân công 3 chức vụ khác nhau là chọn 3 trong 30 phần tử và có xếp thứ tự (phân biệt vai trò), nên đây là một chỉnh hợp chập 3 của 30.
\[ A_{30}^3 = \displaystyle\frac{30!}{(30-3)!} = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24\,360 \quad \text{(cách).} \]b) Việc chọn 3 học sinh tham gia đội tình nguyện chỉ là chọn một nhóm 3 học sinh từ 30 học sinh mà không phân biệt thứ tự (vai trò bình đẳng), nên đây là một tổ hợp chập 3 của 30.
\[ C_{30}^3 = \displaystyle\frac{30!}{3!(30-3)!} = \displaystyle\frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4\,060 \quad \text{(cách).} \]Cho tập hợp \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lấy từ tập \(S\)?
Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau lấy từ 7 chữ số của tập \(S\) ứng với một cách chọn 4 chữ số từ 7 chữ số và xếp thứ tự chúng (để tạo thành hàng nghìn, trăm, chục, đơn vị).
Do đó, số các số lập được là số chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử:
\[ A_7^4 = \displaystyle\frac{7!}{(7-4)!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840 \quad \text{(số).} \]Bài 1: Trong một giải bóng đá có 12 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt.
a) Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu được diễn ra?
b) Có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương: Vàng, Bạc, Đồng cho 3 đội bóng xuất sắc nhất?
Bài 2: Một tổ có 8 nam và 5 nữ. Giáo viên muốn chọn ra một nhóm gồm 5 học sinh đi tham gia cuộc thi tìm hiểu lịch sử. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a) Chọn 5 học sinh bất kỳ?
b) Nhóm được chọn phải gồm đúng 3 nam và 2 nữ?
Bài 3: Giải các phương trình/bất phương trình sau:
a) \(A_n^2 - C_n^2 = 10\)
b) \(C_n^1 + C_n^2 = 15\)