BÀI 24. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Chương VIII)

Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử.

Số cách sắp xếp các bức tranh là:

Gọi số tự nhiên có ba chữ số khác nhau cần lập là \(\overline{abc}\) với \(a, b, c \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) và \(a \neq 0\).

• Bước 1: Chọn chữ số \(a\) khác \(0\) từ các chữ số \(\{1, 2, 3, 4\}\) \(\Rightarrow\) có \(4\) cách chọn.
• Bước 2: Chọn hai chữ số phân biệt cho \(b\) và \(c\) từ 4 chữ số còn lại (trong tập \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\) bỏ đi chữ số \(a\)) và sắp xếp có thứ tự \(\Rightarrow\) số cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: \[ A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12 \text{ (cách)} \]

Theo quy tắc nhân, tổng số các số tự nhiên lập được là:

Các số nguyên dương nhỏ hơn 100 gồm các số từ 1 đến 99, tổng cộng có 99 số.

• Mỗi tập hợp gồm 2 số nguyên dương nhỏ hơn 100 là một tổ hợp chập 2 của 99 phần tử.
  Số cách chọn một tập hợp gồm 2 số là: \[ C_{99}^2 = \frac{99!}{2!(99-2)!} = \frac{99 \times 98}{2} = 4\,851 \text{ (cách)} \]
• Mỗi tập hợp gồm 3 số nguyên dương nhỏ hơn 100 là một tổ hợp chập 3 của 99 phần tử.
  Số cách chọn một tập hợp gồm 3 số là: \[ C_{99}^3 = \frac{99!}{3!(99-3)!} = \frac{99 \times 98 \times 97}{3 \times 2 \times 1} = 156\,849 \text{ (cách)} \]

Để chọn ra đúng 2 viên bi khác màu, Hà cần chọn 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ:

• Bước 1: Chọn 1 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh \(\Rightarrow\) có \(C_5^1 = 5\) cách chọn.
• Bước 2: Chọn 1 viên bi đỏ từ 7 viên bi đỏ \(\Rightarrow\) có \(C_7^1 = 7\) cách chọn.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra đúng 2 viên bi khác màu là:

• a) Chọn 4 bạn nam:
  Chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử.
  Số cách chọn là: \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!6!} = 210 \text{ (cách)} \]
• b) Chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ:
  Tổng số thành viên của câu lạc bộ là \(10 + 7 = 17\) bạn.
  Chọn 4 bạn bất kỳ từ 17 bạn là một tổ hợp chập 4 của 17 phần tử.
  Số cách chọn là: \[ C_{17}^4 = \frac{17!}{4!13!} = 2\,380 \text{ (cách)} \]
• c) Chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ:
  • Chọn 2 bạn nam từ 10 bạn nam: có \(C_{10}^2 = 45\) cách.
  • Chọn 2 bạn nữ từ 7 bạn nữ: có \(C_7^2 = 21\) cách.

  Theo quy tắc nhân, số cách chọn là:

  \[ C_{10}^2 \times C_7^2 = 45 \times 21 = 945 \text{ (cách)} \]

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau cần tìm là \(\overline{abcd}\) với \(a, b, c, d \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) và \(a \neq 0\).

Vì \(\overline{abcd}\) chia hết cho 5 nên \(d \in \{0, 5\}\). Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(d = 0\)

• Chữ số \(d\) có \(1\) cách chọn (\(d = 0\)).
• Ba chữ số \(a, b, c\) được chọn từ 9 chữ số còn lại (tập \(\{1, 2, \dots, 9\}\)) và được sắp xếp thứ tự phân biệt, số cách chọn là: \[ A_9^3 = 9 \times 8 \times 7 = 504 \text{ (cách)} \]

Do đó, trong trường hợp này lập được: \(1 \times 504 = 504\) (số).

Trường hợp 2: \(d = 5\)

• Chữ số \(d\) có \(1\) cách chọn (\(d = 5\)).
• Chữ số \(a\) chọn từ các chữ số trong tập \(\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}\) (khác \(0\) và khác \(5\)) \(\Rightarrow\) có \(8\) cách chọn.
• Hai chữ số \(b\) và \(c\) được chọn từ 8 chữ số còn lại (bỏ đi chữ số \(a\) và chữ số \(d=5\)) và được sắp xếp thứ tự \(\Rightarrow\) số cách chọn là: \[ A_8^2 = 8 \times 7 = 56 \text{ (cách)} \]

Do đó, trong trường hợp này lập được: \(1 \times 8 \times 56 = 448\) (số).

Theo quy tắc cộng, tổng số các số tự nhiên thoả mãn bài toán là: