📘 BÀI HỌC TOÁN 10: QUY TẮC ĐẾM
Chương VIII: Đại số tổ hợp - Bài 23 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong hai phương án:
- Phương án A có \(m\) cách thực hiện;
- Phương án B có \(n\) cách thực hiện (không trùng với cách nào của phương án A).
Khi đó, công việc có thể được thực hiện theo:
\[ m + n \quad \text{cách.} \]Nếu một công việc có thể thực hiện theo một trong \(k\) phương án độc lập khác nhau, trong đó:
• Phương án 1 có \(n_1\) cách;
• Phương án 2 có \(n_2\) cách; ...
• Phương án \(k\) có \(n_k\) cách (các cách của các phương án đôi một không trùng nhau).
Khi đó công việc có: \( n_1 + n_2 + \dots + n_k \) cách thực hiện.
Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau (\(A \cap B = \emptyset\)), thì số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là:
\[ |A \cup B| = |A| + |B| \]2. Quy tắc nhân
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp:
- Công đoạn 1 có \(m\) cách thực hiện;
- Với mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có \(n\) cách thực hiện công đoạn 2.
Khi đó, công việc có thể được thực hiện theo:
\[ m \cdot n \quad \text{cách.} \]Nếu một công việc phải hoàn thành qua \(k\) công đoạn liên tiếp, trong đó:
• Công đoạn 1 có \(n_1\) cách;
• Công đoạn 2 có \(n_2\) cách; ...
• Công đoạn \(k\) có \(n_k\) cách.
Khi đó công việc có: \( n_1 \cdot n_2 \cdots n_k \) cách thực hiện.
3. Sơ đồ cây
Sơ đồ cây là một hình vẽ dạng cây giúp liệt kê trực quan, đầy đủ và không bỏ sót tất cả các khả năng có thể xảy ra của một quá trình gồm nhiều bước hoặc nhiều lựa chọn.
• Gốc cây: Điểm bắt đầu thực hiện công việc.
• Các nhánh cấp 1: Đại diện cho các lựa chọn ở bước/phương án thứ nhất.
• Các nhánh cấp 2: Đại diện cho các lựa chọn ở bước thứ hai ứng với mỗi lựa chọn ở bước thứ nhất.
• Đường đi từ gốc đến ngọn: Cho ta một kết quả hoàn chỉnh của công việc.
• Tổng số ngọn cây: Chính là tổng số cách hoàn thành công việc.
4. So sánh Quy tắc cộng và Quy tắc nhân
| Tiêu chí | Quy tắc cộng | Quy tắc nhân |
|---|---|---|
| Bản chất | Các PHƯƠNG ÁN độc lập (thực hiện 1 trong các phương án là xong công việc). | Các CÔNG ĐOẠN / BƯỚC liên tiếp (phải làm đủ tất cả các bước mới xong công việc). |
| Từ khóa nhận biết | "Hoặc", "Phương án 1 hoặc Phương án 2", "Trường hợp 1, Trường hợp 2". | "Và", "Liên tiếp", "Bước 1 rồi đến Bước 2". |
| Công thức | \(N = m + n\) | \(N = m \cdot n\) |
| Ví dụ mô tả | Chọn 1 quyển sách từ 3 sách Toán hoặc 4 sách Văn \(\Rightarrow 3 + 4 = 7\) cách. | Chọn 1 quyển Toán và 1 quyển Văn \(\Rightarrow 3 \cdot 4 = 12\) cách. |
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Một câu lạc bộ toán học có 5 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh làm trưởng nhóm?
Việc chọn một học sinh làm trưởng nhóm có thể thực hiện theo một trong hai phương án:
• Phương án 1: Chọn một học sinh nam, có \(5\) cách.
• Phương án 2: Chọn một học sinh nữ, có \(7\) cách.
Theo quy tắc cộng, số cách chọn một học sinh làm trưởng nhóm là:
\[ 5 + 7 = 12 \quad \text{(cách).} \]Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C qua B?
Việc đi từ thành phố A đến C qua B gồm hai công đoạn liên tiếp:
• Công đoạn 1: Đi từ A đến B, có \(3\) cách.
• Công đoạn 2: Đi từ B đến C, ứng với mỗi cách đi từ A đến B, có \(4\) cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách đi từ A đến C qua B là:
\[ 3 \cdot 4 = 12 \quad \text{(cách).} \]Cho tập hợp \(S = \{1, 2, 3, 4, 5\}\). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lấy từ tập \(S\)?
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline{abc}\) với \(a, b, c \in S\) và \(a, b, c\) đôi một khác nhau.
• Chọn chữ số \(a\): Có \(5\) cách chọn (lấy bất kỳ chữ số nào trong \(S\)).
• Chọn chữ số \(b\): Có \(4\) cách chọn (khác chữ số \(a\)).
• Chọn chữ số \(c\): Có \(3\) cách chọn (khác cả chữ số \(a\) và \(b\)).
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu là:
\[ 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \quad \text{(số).} \]Bài 1: Trong một thực đơn của nhà hàng có 4 món khai vị, 6 món chính và 3 món tráng miệng.
a) Một khách hàng muốn chọn 1 món ăn duy nhất (khai vị, chính hoặc tráng miệng). Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
b) Một khách hàng muốn chọn một bữa ăn đầy đủ gồm 1 món khai vị, 1 món chính và 1 món tráng miệng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Từ các chữ số \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 3 chữ số khác nhau?
Bài 3: Mật khẩu của một tài khoản gồm 2 chữ cái tiếng Anh in hoa (trong bảng 26 chữ cái) ở đầu, theo sau là 3 chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu như vậy nếu các chữ cái và chữ số được phép lặp lại?