Mind Map

BÀI 2. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

1. Hoán vị

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó.

Số các hoán vị là: $P_n=n(n-1)(n-2)...2.1$

2. Chỉnh hợp

Mỗi cách lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử $1\le k\le n$ là: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.

3. Tổ hợp

Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử $1\le k\le n$ là: $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay Nhấp vào đây để xem chi tiết

Ví dụ – Các bài toán hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Đề bài

Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế?

Lời giải:

Có 3 cách xếp cho người đầu tiên (A).
Có 2 cách xếp cho người thứ hai (B).
Có 1 cách xếp cho người thứ ba (C).

Vậy số cách xếp 3 bạn là: $3 \times 2 \times 1 = 6$ (cách).

Mỗi cách xếp là một hoán vị của 3 phần tử A, B, C.

Ví dụ 2 Đề bài

Có 5 quyển sách toán, 4 quyển sách lý và 3 quyển sách hoá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 5 sách đó lên một kệ dài trong hai trường hợp:

Các quyển sách được xếp tùy ý.
Các quyển sách cùng môn xếp cạnh nhau.

Lời giải:

a) Các quyển sách được xếp tùy ý:

Số cách xếp 12 quyển sách khác nhau: $12! = 479{,}001{,}600$ (cách).

b) Các quyển sách cùng môn xếp cạnh nhau:

Mỗi nhóm (toán, lý, hoá) coi như 1 “khối”. Có $3!$ cách xếp các khối. Trong mỗi khối, số cách xếp riêng là: $5!, 4!, 3!$. Do đó số cách xếp là: $3! \times 5! \times 4! \times 3! = 3{,}110{,}400$ (cách).

Ví dụ 3 Đề bài

Giả sử muốn chọn 3 trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bạn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách?

Lời giải:

Có $A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!} = 60$ (cách).

Giải thích: Chọn 3 bạn từ 5 bạn, sau đó sắp xếp 3 bạn đó có thứ tự → dùng chỉnh hợp.

Ví dụ 4 Đề bài

Cho tập hợp $X = \\{1,2,3,4,5,6\\}$. Có thể lập được bao nhiêu tập con gồm 3 phần tử mà các phần tử trong tập con đều là số chẵn?

Lời giải:

Các số chẵn trong $X$ là $\\{2,4,6\\}$. Chọn cả 3 số này → chỉ có $1$ tập con thoả mãn.

Vậy có 1 cách.

Ví dụ 5 Đề bài

Có bao nhiêu cách chọn một ban chấp hành có 3 người trong một chi đoàn gồm 14 đoàn viên?

Lời giải:

Mỗi cách chọn ban chấp hành là một tổ hợp 3 người từ 14 người: $C_{14}^3 = \\dfrac{14!}{3!\\,11!} = 364$ (cách).

Ví dụ 6 Đề bài

Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách để chọn 4 đội vào vòng chung kết?

Lời giải:

Số cách chọn 4 đội từ 24 đội là: $C_{24}^4 = \\dfrac{24!}{4!\\,20!} = 10{,}626$ (cách).

Ví dụ 7 Đề bài

Một lớp học có 30 học sinh, cần lập ra một tổ công tác gồm 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Số cách chọn 5 học sinh từ 30 học sinh là: $C_{30}^5 = 142{,}506$ (cách).

Ví dụ 8 Đề bài

Trong không gian, cho tập hợp $X$ gồm 10 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi:

Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành?
Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

Lời giải:

1) Số đường thẳng tạo thành: Mỗi đường thẳng được xác định bởi 2 điểm → $C_{10}^2 = 45$ (đường thẳng).

2) Số tam giác tạo thành: Mỗi tam giác xác định bởi 3 điểm → $C_{10}^3 = 120$ (tam giác).