BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG VII SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Chọn B.

Phương trình tham số của đường thẳng có dạng \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}\). Do đó, hệ \(\begin{cases} x = 2t \\ y = t \end{cases}\) là phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2; 1)\).

Chọn A.

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng \(Ax + By + C = 0\) (với \(A^2 + B^2 \neq 0\)). Phương trình \(-x - 2y + 3 = 0\) có dạng này với \(A = -1, B = -2, C = 3\).

Chọn C.

Phương trình đường tròn tâm \(I(a; b)\) bán kính \(R > 0\) có dạng \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\). Phương trình \(x^2 + y^2 = 2\) là phương trình đường tròn tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R = \sqrt{2}\). (Đáp án B sai vì bán kính vế phải \(-4 < 0\)).

Chọn D.

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > b > 0\). Phương trình \(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1\) thỏa mãn điều kiện này với \(a^2 = 2, b^2 = 1\) (\(a = \sqrt{2} > b = 1\)).

Chọn B.

Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > 0, b > 0\). Do đó \(\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{6} = 1\) là phương trình chính tắc của hypebol với \(a = 1, b = \sqrt{6}\).

Chọn C.

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \(y^2 = 2px\) với \(p > 0\). Phương trình \(y^2 = 4x\) thỏa mãn với \(p = 2 > 0\).

• Ta có \(\vec{AB} = (3 - 1; 5 - (-1)) = (2; 6)\). Độ dài cạnh \(AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
• Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\vec{n} = (3; -1)\) (do \(\vec{n} \cdot \vec{AB} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 = 0\)).
  Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(1; -1)\): \[ 3(x - 1) - 1(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 4 = 0 \]
• Chiều cao \(h_c\) của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(C(-2; 4)\) chính là khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(AB\): \[ h_c = d(C, AB) = \frac{|3(-2) - 4 - 4|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|-14|}{\sqrt{10}} = \frac{14}{\sqrt{10}} \]
• Diện tích tam giác \(ABC\): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \frac{14}{\sqrt{10}} = 14 \]

• a) Bán kính đường tròn tâm \(A\) đi qua \(B\) là \(R = AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}\).
  Phương trình đường tròn tâm \(A(-1; 0)\) bán kính \(R = \sqrt{17}\) là: \[ (x + 1)^2 + y^2 = 17 \]
• b) Ta có \(\vec{AB} = (4; 1)\), nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\) là \(\vec{n} = (1; -4)\).
  Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A(-1; 0)\) là: \[ 1(x + 1) - 4(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 1 = 0 \]
• c) Đường tròn tâm \(O(0;0)\) tiếp xúc với đường thẳng \(AB\) thì bán kính \(R'\) của đường tròn bằng khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(AB\): \[ R' = d(O, AB) = \frac{|0 - 4(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-4)^2}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \]
  Phương trình đường tròn tâm \(O\) là: \[ x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{17}}\right)^2 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = \frac{1}{17} \]

• a) Phương trình có các hệ số: \(a = \frac{-4}{-2} = 2\), \(b = \frac{6}{-2} = -3\), \(c = -12\).
  Tọa độ tâm \(I(2; -3)\).
  Bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5\).
• b) Thay tọa độ điểm \(M(5; 1)\) vào vế trái phương trình đường tròn \((C)\): \[ 5^2 + 1^2 - 4(5) + 6(1) - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0 \] Đẳng thức đúng nên điểm \(M(5; 1)\) thuộc đường tròn \((C)\).
  
  Tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \((C)\) tại \(M(5; 1)\) nhận vectơ \(\vec{IM}\) làm vectơ pháp tuyến.
  Ta có \(\vec{IM} = (5 - 2; 1 - (-3)) = (3; 4)\).
  Phương trình tiếp tuyến \(d\) đi qua \(M(5; 1)\) là: \[ 3(x - 5) + 4(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0 \]

• a)
  • Giao điểm với trục hoành (\(y = 0\)): Thay \(y = 0\) vào \((E)\) ta được \(\frac{x^2}{a^2} = 1 \Rightarrow x = \pm a\).
  Do đó, \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\). Độ dài \(A_1A_2 = 2a\).
  • Giao điểm với trục tung (\(x = 0\)): Thay \(x = 0\) vào \((E)\) ta được \(\frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y = \pm b\).
  Do đó, \(B_1(0; -b)\) và \(B_2(0; b)\). Độ dài \(B_1B_2 = 2b\).
• b) Vì \(M(x_0; y_0) \in (E)\) nên \(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y_0^2 = b^2 \left(1 - \frac{x_0^2}{a^2}\right)\).
  Ta có \(OM^2 = x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + b^2\left(1 - \frac{x_0^2}{a^2}\right) = b^2 + x_0^2 \left(1 - \frac{b^2}{a^2}\right) = b^2 + x_0^2 \frac{a^2 - b^2}{a^2}\).
  Vì \(a > b > 0\) nên \(\frac{a^2 - b^2}{a^2} > 0\). Mặt khác từ phương trình \((E)\), ta có \(0 \le \frac{x_0^2}{a^2} \le 1 \Rightarrow 0 \le x_0^2 \le a^2\).
  • Do \(x_0^2 \ge 0 \Rightarrow OM^2 \ge b^2 + 0 = b^2\).
  • Do \(x_0^2 \le a^2 \Rightarrow OM^2 \le b^2 + a^2 \cdot \frac{a^2 - b^2}{a^2} = b^2 + a^2 - b^2 = a^2\).
  Do đó \(b^2 \le OM^2 \le a^2 \Leftrightarrow b^2 \le x_0^2 + y_0^2 \le a^2 \Leftrightarrow b \le OM \le a\) (đpcm).

• a) Cho \(y = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} = 1 \Rightarrow x^2 = a^2 \Rightarrow x = \pm a\).
  Vì hoành độ của \(A_1\) nhỏ hơn của \(A_2\) nên \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\).
• b) Từ phương trình chính tắc của hypebol: \[ \frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} \ge 1 \quad (\text{vì } y^2 \ge 0) \] \[ \Rightarrow x^2 \ge a^2 \Rightarrow |x| \ge a \Leftrightarrow \begin{cases} x \le -a & \text{(khi } M \text{ nằm bên trái trục tung)} \\ x \ge a & \text{(khi } M \text{ nằm bên phải trục tung)} \end{cases} \]
• c) Lấy \(M_1(x_1; y_1)\) thuộc nhánh trái (\(x_1 \le -a\)) và \(M_2(x_2; y_2)\) thuộc nhánh phải (\(x_2 \ge a\)).
  Ta có: \[ M_1M_2 = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \ge \sqrt{(x_2 - x_1)^2} = |x_2 - x_1| = x_2 - x_1 \] Vì \(x_2 \ge a\) và \(x_1 \le -a \Rightarrow -x_1 \ge a \Rightarrow x_2 - x_1 \ge a + a = 2a\).
  Do đó \(M_1M_2 \ge 2a\).
  Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases} y_1 = y_2 \\ x_1 = -a, x_2 = a \end{cases} \Leftrightarrow M_1 \equiv A_1(-a; 0)\) và \(M_2 \equiv A_2(a; 0)\).
  Vậy độ dài \(M_1M_2\) nhỏ nhất bằng \(2a\) khi \(M_1(-a; 0)\) và \(M_2(a; 0)\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm ở chỗ nhỏ nhất ở chính giữa cột, trục \(Ox\) nằm ngang và trục \(Oy\) thẳng đứng làm trục đối xứng của cột.

• Phương trình chính tắc của hypebol dạng: \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a, b > 0\)).
• Chỗ nhỏ nhất ở chính giữa có độ rộng \(0,8\text{ m}\), tức là độ dài trục thực \(2a = 0,8 \Rightarrow a = 0,4\).
  Do đó \(\frac{x^2}{0,4^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{0,16} - \frac{y^2}{b^2} = 1\).
• Cột có chiều cao \(6\text{ m}\) nên đỉnh cột ở độ cao \(y = 3\text{ m}\) so với tâm \(O\).
  Đỉnh cột rộng \(1\text{ m}\), tức là hoành độ của điểm biên đỉnh cột là \(x = \frac{1}{2} = 0,5\).
  Điểm \((0,5; 3)\) thuộc hypebol, thay vào phương trình ta được: \[ \frac{0,5^2}{0,16} - \frac{3^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{0,25}{0,16} - \frac{9}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{b^2} \Leftrightarrow \frac{9}{16} = \frac{9}{b^2} \Rightarrow b^2 = 16 \]
  Vậy phương trình hypebol mô tả mặt ngoài của cột là: \[ \frac{x^2}{0,16} - \frac{y^2}{16} = 1 \]
• Độ cao \(5\text{ m}\) so với đáy tương ứng với vị trí có tung độ \(y = 5 - 3 = 2\text{ m}\) trong hệ tọa độ \(Oxy\).
  Thay \(y = 2\) vào phương trình hypebol để tìm hoành độ \(x > 0\): \[ \frac{x^2}{0,16} - \frac{2^2}{16} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{0,16} - \frac{4}{16} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{0,16} = \frac{5}{4} \Rightarrow x^2 = 0,16 \cdot 1,25 = 0,2 \] \[ \Rightarrow x = \sqrt{0,2} \approx 0,4472\text{ (m)} \]
• Độ rộng của cột ở độ cao \(5\text{ m}\) là: \[ 2x = 2 \cdot \sqrt{0,2} \approx 0,8944 \approx 0,89\text{ (m)} \]

Kết luận: Độ rộng của cột ở độ cao \(5\text{ m}\) là khoảng \(0,89\text{ m}\).