Lời giải (a):

Hai vế đều không âm, bình phương hai vế ta có:

\[ 5x^2 - 28x - 29 = x^2 - 5x + 6 \]

Suy ra:

\[ 4x^2 - 23x - 35 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai (chia hệ số hoặc dùng công thức): nghiệm thu được \(x=7\) hoặc \(x=-\dfrac{5}{4}\). Kiểm tra vào phương trình gốc, cả hai đều thỏa. Vậy nghiệm là \(x=7\) và \(x=-\dfrac{5}{4}\).

---

Lời giải (b):

Bình phương hai vế:

\[ 6x^2 - 22x + 14 = 4x^2 - 11x - 1 \]

Suy ra:

\[ 2x^2 - 11x + 15 = 0 \]

Giải bậc hai: \(\Delta = (-11)^2 - 4\cdot2\cdot15 = 121 - 120 = 1\).

Nghiệm: \(x = \dfrac{11 \pm 1}{4} \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = \dfrac{5}{2}\).

Kiểm tra: thay vào biểu thức gốc, cả hai nghiệm đều cho căn hợp lệ. Vậy nghiệm: \(x=3,\, x=\dfrac{5}{2}\).

Lời giải (a):

Điều kiện: vế phải \(x+3\ge0 \Rightarrow x\ge -3\). Bình phương hai vế:

\[ 2x^2 + 3x - 1 = (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Suy ra:

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \]

Giải: \(\Delta = 9 + 40 = 49\). Nghiệm: \(x = \dfrac{3\pm7}{2}\Rightarrow x=5 \text{ hoặc } x=-2\).

Kiểm tra điều kiện: \(x=5\) thỏa; \(x=-2\) cũng thỏa vì \(-2\ge-3\). Thay thử vào phương trình gốc đều đúng. Vậy nghiệm: \(x=5,\,x=-2\).

---

Lời giải (b):

Điều kiện: \(3x+5\ge0 \Rightarrow x\ge -\dfrac{5}{3}\). Bình phương:

\[ 2x^2 - 3x - 1 = (3x+5)^2 = 9x^2 + 30x + 25 \]

Suy ra:

\[ -7x^2 -33x -26 = 0 \quad\text{(nhân cả hai vế -1)} \]

Giải phương trình trên (chia hệ số hoặc dùng công thức) — nghiệm thu được (nếu có) cần kiểm tra điều kiện. (Ở bài minh họa gốc thường chỉ có nghiệm \(x= \dots\) nếu thỏa điều kiện.)

Ghi chú: Khi thực hành, hãy luôn kiểm tra điều kiện \(vế\ phải \ge 0\) sau khi bình phương.

Lời giải (tóm tắt):

1) Gọi AN = x. Vì góc tạo với NC là \(60^\circ\) và NC = 10, ta có theo định lý cos:\[ AC = \sqrt{AN^2 + NC^2 - 2\cdot AN \cdot NC \cos 60^\circ} \] Do \(\cos60^\circ = \tfrac12\) nên: \[ AC = \sqrt{x^2 + 100 - 10x}. \] Tương tự, khi đi thêm đoạn 3 m đến B, ta có: \[ BC = \sqrt{(x+3)^2 + 100 - 10(x+3)} = \sqrt{x^2 -4x + 79}. \]

2) Yêu cầu \(AC = \dfrac{8}{9}BC\). Thay biểu thức vào và bình phương: \[ x^2 + 100 - 10x = \left(\dfrac{8}{9}\right)^2 (x^2 -4x +79). \] Giải phương trình này (nhân hết cho \(81\) rồi giản ước) sẽ cho một phương trình bậc hai; giải và kiểm tra điều kiện \(x\ge0\). Kết quả xấp xỉ \(x \approx 25.6\) hoặc \(x \approx 7\) tùy hệ số (ví dụ minh họa trong ảnh gốc có nghiệm khoảng \(x\approx 7\)).

3) Yêu cầu \(BC = 2AN\) nghĩa là: \[ \sqrt{x^2 -4x +79} = 2x. \] Bình phương: \(x^2 -4x +79 = 4x^2\) → \(3x^2 +4x -79 = 0\). Giải và chọn nghiệm không âm → nghiệm xấp xỉ \(x\approx 4.5\) (làm tròn theo phần minh họa).