Câu 1. Cho Elip \((E)\) có phương trình chính chính \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tiêu cự của \((E)\) bằng:
Giải thích: Ta có \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\), \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\).
Suy ra \(c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4\).
Tiêu cự của Elip là \(2c = 2 \cdot 4 = 8\).
Câu 2. Tọa độ các tiêu điểm của Hypebol \((H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) là:
Giải thích: Với Hypebol, ta có \(a^2 = 16\), \(b^2 = 9\).
Công thức mối liên hệ: \(c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5\).
Do đó hai tiêu điểm là \(F_1(-5; 0)\) và \(F_2(5; 0)\).
Câu 3. Tọa độ tiêu điểm \(F\) và phương trình đường chuẩn \(\Delta\) của Parabol \((P): y^2 = 8x\) là:
Giải thích: Dạng chuẩn của Parabol là \(y^2 = 2px\). Ở đây \(2p = 8 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow \frac{p}{2} = 2\).
Tiêu điểm \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(2; 0)\) và đường chuẩn \(\Delta: x = -\frac{p}{2} \Leftrightarrow x = -2\).
Câu 4. Lập phương trình chính chính của Elip \((E)\) biết có độ dài trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6\).
Giải thích: Độ dài trục lớn \(2a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^2 = 25\).
Tiêu cự \(2c = 6 \Rightarrow c = 3\).
Ta có \(b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16\).
Phương trình chính chính của Elip là: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\).
Câu 5. Lập phương trình chính chính của Hypebol \((H)\) biết một tiêu điểm là \(F_2(5; 0)\) và một đỉnh là \(A_1(-4; 0)\).
Giải thích: Tiêu điểm \(F_2(5; 0) \Rightarrow c = 5\). Đỉnh \(A_1(-4; 0) \Rightarrow a = 4\).
Đối với Hypebol: \(b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9\).
Vậy phương trình chính chính của Hypebol là: \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\).
Câu 6. Phương trình chính chính của Parabol đi qua điểm \(M(2; 4)\) là:
Giải thích: Phương trình chính chính của Parabol có dạng \(y^2 = 2px\) (\(p > 0\)).
Vì Parabol đi qua \(M(2; 4)\) nên thay tọa độ \(M\) vào phương trình: \(4^2 = 2p \cdot 2 \Leftrightarrow 16 = 4p \Leftrightarrow 2p = 8\).
Vậy phương trình Parabol là \(y^2 = 8x\).
Câu 7. Cho Elip \((E): 9x^2 + 25y^2 = 225\). Khẳng định nào sau đây là **sai**?
Giải thích: Chia 2 vế cho 225 ta được: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\).
Suy ra \(a = 5 \Rightarrow 2a = 10\) (trục lớn = 10 - Đúng); \(b = 3 \Rightarrow 2b = 6\) (trục bé = 6 - Đúng).
\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\). Suy ra tiêu cự phải là \(2c = 8\). Do đó phương án C ghi "Tiêu cự bằng 4" là **Sai**.
Câu 8. Khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) đến đường chuẩn \(\Delta\) của Parabol \((P): y^2 = 12x\) bằng:
Giải thích: Ta có \(2p = 12 \Rightarrow p = 6\).
Tham số tiêu \(p\) chính là khoảng cách từ tiêu điểm \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right)\) đến đường chuẩn \(\Delta: x = -\frac{p}{2}\).
Vậy khoảng cách này bằng \(p = 6\).
Câu 9. Một đường conic có phương trình chính chính có dạng \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\). Điểm nào sau đây chắc chắn **không** nằm trên đường conic đó?
Giải thích: Đây là phương trình Hypebol. Hypebol cắt trục hoành tại hai đỉnh \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\), nhưng **không** cắt trục tung. Do đó điểm \(B_1(0; b)\) không thuộc Hypebol.
Câu 10 Thực tế. Một chảo vệ tinh có mặt cắt là một parabol có dạng \(y^2 = 16x\) (đơn vị đo là decimét). Thiết bị thu tín hiệu (đầu thu) được đặt tại tiêu điểm của parabol đó. Hỏi đầu thu phải đặt cách đỉnh của chảo vệ tinh bao nhiêu decimét?
Giải thích: Mặt cắt parabol có phương trình \(y^2 = 16x \Rightarrow 2p = 16 \Rightarrow p = 8\).
Tiêu điểm của Parabol có tọa độ \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(4; 0)\).
Đỉnh chảo trùng với gốc tọa độ \(O(0; 0)\). Khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm là \(OF = \frac{p}{2} = 4\text{ (dm)}\).