📘 BÀI HỌC TOÁN 10: BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
👉Nhấn vào đây để xem Video(Phần 3)Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 22 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Đường Elip
Cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) với \(F_1F_2 = 2c\) (\(c > 0\)). Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho:
\[ MF_1 + MF_2 = 2a \](với \(a\) là số thực cho trước, \(a > c > 0\)) được gọi là đường elip (hay elip).
- \(F_1, F_2\): Các tiêu điểm của elip.
- \(F_1F_2 = 2c\): Tiêu cự của elip.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) là trung điểm \(F_1F_2\) và \(F_1(-c; 0), F_2(c; 0)\), phương trình chính chính của elip có dạng:
\[ \displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{với } a > b > 0 \text{ và } b^2 = a^2 - c^2 \]• Các đỉnh: \(A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(0; -b), B_2(0; b)\).
• Độ dài trục lớn: \(A_1A_2 = 2a\) (nằm trên trục \(Ox\)).
• Độ dài trục bé: \(B_1B_2 = 2b\) (nằm trên trục \(Oy\)).
• Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc \(O\) làm tâm đối xứng.
2. Đường Hypebol
Cho hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) với \(F_1F_2 = 2c\) (\(c > 0\)). Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho:
\[ |MF_1 - MF_2| = 2a \](với \(a\) là số thực cho trước, \(0 < a < c\)) được gọi là đường hypebol (hay hypebol).
- \(F_1, F_2\): Các tiêu điểm của hypebol.
- \(F_1F_2 = 2c\): Tiêu cự của hypebol.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\) phù hợp, phương trình chính chính của hypebol có dạng:
\[ \displaystyle\frac{x^2}{a^2} - \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{với } a, b > 0 \text{ và } b^2 = c^2 - a^2 \]• Các đỉnh: \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\).
• Trục thực: Nằm trên đường thẳng \(F_1F_2\), độ dài trục thực là \(2a\).
• Trục ảo: Nằm trên đường trung trực của \(F_1F_2\), độ dài trục ảo là \(2b\).
• Hypebol gồm hai nhánh tách biệt, nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc \(O\) làm tâm đối xứng.
3. Đường Parabol
Cho một điểm cố định \(F\) và một đường thẳng \(\Delta\) cố định không đi qua \(F\). Tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng cách đều \(F\) và \(\Delta\) được gọi là đường parabol (hay parabol).
\[ d(M, \Delta) = MF \]- \(F\): Tiêu điểm của parabol.
- \(\Delta\): Đường chuẩn của parabol.
- Khoảng cách từ \(F\) đến \(\Delta\) ký hiệu là \(p\) (\(p > 0\)), gọi là tham số tiêu.
Khi chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho tiêu điểm \(F\left(\displaystyle\frac{p}{2}; 0\right)\) và đường chuẩn \(\Delta: x = -\displaystyle\frac{p}{2}\), phương trình chính chính của parabol có dạng:
\[ y^2 = 2px \quad (p > 0) \]• Đỉnh: Gốc tọa độ \(O(0; 0)\).
• Trục đối xứng: Trục hoành \(Ox\).
• Parabol nằm hoàn toàn về bên phải trục tung (vì \(x \ge 0\)).
4. Tóm tắt công thức 3 Đường Conic
| Đặc điểm | Elip (E) | Hypebol (H) | Parabol (P) |
|---|---|---|---|
| PT chính chính | \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\) | \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} - \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\) | \(y^2 = 2px\) |
| Điều kiện tham số | \(a > b > 0\) \(b^2 = a^2 - c^2\) |
\(a, b > 0\) \(b^2 = c^2 - a^2\) |
\(p > 0\) |
| Tiêu điểm | \(F_1(-c;0), F_2(c;0)\) | \(F_1(-c;0), F_2(c;0)\) | \(F\left(\displaystyle\frac{p}{2}; 0\right)\) |
| Các đỉnh | \((\pm a; 0), (0; \pm b)\) | \((\pm a; 0)\) | \(O(0;0)\) |
| Đường chuẩn / Khác | Trục lớn \(2a\), Trục bé \(2b\) | Trục thực \(2a\), Trục ảo \(2b\) | \(\Delta: x = -\displaystyle\frac{p}{2}\) |
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
a) Cho elip \((E): \displaystyle\frac{x^2}{25} + \displaystyle\frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh, tiêu điểm, độ dài trục lớn, trục bé và tiêu cự.
b) Cho hypebol \((H): \displaystyle\frac{x^2}{16} - \displaystyle\frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tọa độ các đỉnh và tiêu điểm của \((H)\).
a) Ta có \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\) và \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\).
• Suy ra \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).
• Các đỉnh: \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0), B_1(0; -3), B_2(0; 3)\).
• Các tiêu điểm: \(F_1(-4; 0), F_2(4; 0)\).
• Độ dài trục lớn: \(2a = 10\); Độ dài trục bé: \(2b = 6\); Tiêu cự: \(2c = 8\).
b) Ta có \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\) và \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\).
• Suy ra \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\).
• Các đỉnh: \(A_1(-4; 0), A_2(4; 0)\).
• Các tiêu điểm: \(F_1(-5; 0), F_2(5; 0)\).
a) Lập phương trình chính chính của elip đi qua điểm \(M(0; 3)\) và có một tiêu điểm \(F_2(4; 0)\).
b) Lập phương trình chính chính của parabol có đường chuẩn \(\Delta: x = -3\).
a) Phương trình elip có dạng \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\) (\(a > b > 0\)).
• Tiêu điểm \(F_2(4; 0) \Rightarrow c = 4\).
• Elip đi qua \(M(0; 3) \in Oy \Rightarrow b = 3\).
• Ta có \(a^2 = b^2 + c^2 = 3^2 + 4^2 = 25\).
Vậy phương trình chính chính của elip là: \(\displaystyle\frac{x^2}{25} + \displaystyle\frac{y^2}{9} = 1\).
b) Phương trình chính chính của parabol có dạng \(y^2 = 2px\) (\(p > 0\)).
• Đường chuẩn \(\Delta: x = -\displaystyle\frac{p}{2} = -3 \Rightarrow p = 6\).
Vậy phương trình chính chính của parabol là: \(y^2 = 12x\).
Bài 1: Cho elip \((E): \displaystyle\frac{x^2}{100} + \displaystyle\frac{y^2}{64} = 1\). Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, tiêu cự và độ dài các trục của \((E)\).
Bài 2: Lập phương trình chính chính của Hypebol \((H)\) biết \((H)\) có độ dài trục thực bằng \(8\) và tiêu cự bằng \(10\).
Bài 3: Cho parabol \((P): y^2 = 8x\).
a) Tìm tọa độ tiêu điểm \(F\) và phương trình đường chuẩn \(\Delta\) của \((P)\).
b) Tìm tọa độ điểm \(M\) trên \((P)\) biết khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm \(F\) bằng \(5\).