Giải Bài Tập Bài 22: Ba đường conic - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 22: Ba đường conic

Bài 7.19: Cho elip có phương trình: \(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.
Lời giải:
  • Từ phương trình elip chính tắc \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), ta có:
    \(a^2 = 36 \Rightarrow a = 6\)
    \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
  • Ta có mối liên hệ: \(c^2 = a^2 - b^2 = 36 - 9 = 27 \Rightarrow c = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
  • Do đó:
    • Hai tiêu điểm của elip là \(F_1(-3\sqrt{3}; 0)\) và \(F_2(3\sqrt{3}; 0)\).
    • Tiêu cự của elip là \(2c = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).
Bài 7.20: Cho hypebol có phương trình: \(\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{9} = 1\). Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.
Lời giải:
  • Từ phương trình hypebol chính tắc \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\), ta có:
    \(a^2 = 7\)
    \(b^2 = 9\)
  • Ta có mối liên hệ: \(c^2 = a^2 + b^2 = 7 + 9 = 16 \Rightarrow c = 4\).
  • Do đó:
    • Hai tiêu điểm của hypebol là \(F_1(-4; 0)\) và \(F_2(4; 0)\).
    • Tiêu cự của hypebol là \(2c = 2 \cdot 4 = 8\).
Bài 7.21: Cho parabol có phương trình: \(y^2 = 8x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.
Lời giải:
  • Phương trình parabol có dạng chính tắc \(y^2 = 2px\).
  • So sánh với phương trình đề bài: \(2p = 8 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow \frac{p}{2} = 2\).
  • Do đó:
    • Tiêu điểm của parabol là \(F\left(\frac{p}{2}; 0\right) = F(2; 0)\).
    • Phương trình đường chuẩn của parabol là \(\Delta: x = -\frac{p}{2} \Leftrightarrow x = -2\) (hay \(x + 2 = 0\)).
Bài 7.22: Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm \(A(5; 0)\) và có một tiêu điểm là \(F_2(3; 0)\).
Lời giải:
  • Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) (với \(a > b > 0\)).
  • Elip có tiêu điểm \(F_2(3; 0) \Rightarrow c = 3\).
  • Elip đi qua điểm \(A(5; 0)\) nên: \[\frac{5^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{25}{a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\]
  • Ta có: \(b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 3^2 = 25 - 9 = 16\).
  • Vậy phương trình chính tắc của elip là: \[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\]
Bài 7.23: Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(M(2; 4)\).
Lời giải:
  • Phương trình chính tắc của parabol có dạng: \(y^2 = 2px\) (với \(p > 0\)).
  • Vì parabol đi qua điểm \(M(2; 4)\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn phương trình: \[4^2 = 2p \cdot 2 \Leftrightarrow 16 = 4p \Leftrightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4 \text{ (thỏa mãn } p > 0)\]
  • Vậy phương trình chính tắc của parabol là: \[y^2 = 8x\]
Bài 7.24: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí \(A, B\) cách nhau \(300\text{ km}\). Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc \(292\,000\text{ km/s}\) để một tàu thủy thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ \(A\) đến sớm hơn tín hiệu từ \(B\) là \(0{,}0005\text{ s}\). Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thủy thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.
Lời giải:
  • Gọi vị trí tàu thủy là \(M\).
    Độ lệch khoảng cách từ tàu thủy \(M\) đến hai trạm \(A\) và \(B\) là: \[|MA - MB| = v \cdot \Delta t = 292\,000 \times 0{,}0005 = 146\text{ (km)}\]
  • Vì tín hiệu từ \(A\) đến sớm hơn từ \(B\) nên khoảng cách từ \(M\) đến \(A\) nhỏ hơn khoảng cách từ \(M\) đến \(B\) (\(MA < MB\)), suy ra: \[MB - MA = 146\text{ (km)}\] Do đó, tập hợp các vị trí tàu thủy \(M\) nằm trên một nhánh của đường hypebol nhận \(A\) và \(B\) làm hai tiêu điểm.
  • Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), trục \(Ox\) trùng với đường thẳng \(AB\) (chiều dương từ \(A\) đến \(B\)).
    Khoảng cách giữa hai trạm \(AB = 300\text{ km} \Rightarrow 2c = 300 \Rightarrow c = 150\).
  • Theo định nghĩa hypebol, ta có: \[2a = |MA - MB| = 146 \Rightarrow a = 73\]
  • Tính \(b^2\): \[b^2 = c^2 - a^2 = 150^2 - 73^2 = 22\,500 - 5\,329 = 17\,171\]
  • Vậy tàu thủy thuộc nhánh hypebol gần \(A\) hơn, thuộc đường hypebol có phương trình chính tắc: \[\frac{x^2}{5329} - \frac{y^2}{17171} = 1\]
Bài 7.25: Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là \(A\), điểm cuối là \(B\), khoảng cách \(AB = 400\text{ m}\). Đỉnh parabol \((P)\) của khúc cua cách đường thẳng \(AB\) một khoảng \(20\text{ m}\) và cách đều \(A, B\) (H.7.34).
  1. Lập phương trình chính tắc của \((P)\), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng \(1\text{ m}\) trên thực tế.
  2. Lập phương trình chính tắc của \((P)\), với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng \(1\text{ km}\) trên thực tế.
Lời giải:
  • Phương trình chính tắc của parabol \((P)\) có dạng: \(y^2 = 2px\) (\(p > 0\)), với gốc tọa độ \(O\) trùng với đỉnh của parabol.
  • Trục hoành \(Ox\) là trục đối xứng của parabol, hướng từ đỉnh về phía đường thẳng \(AB\).
    Đường thẳng \(AB\) vuông góc với \(Ox\) tại điểm \(H(20; 0)\) (hoặc tương ứng theo đơn vị kilometer).
  • a) Với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng \(1\text{ m}\) thực tế:
    • Đỉnh parabol cách \(AB\) một khoảng \(20\text{ m} \Rightarrow x_H = 20\).
    • Vì \(AB = 400\text{ m}\) và đỉnh cách đều \(A, B\) nên \(H\) là trung điểm của \(AB\).
    • Do đó, tung độ của điểm \(B\) là \(y_B = \frac{AB}{2} = 200\).
    • Tọa độ điểm \(B\) là \(B(20; 200)\).
    • Vì \(B(20; 200) \in (P)\) nên thay vào phương trình \(y^2 = 2px\): \[200^2 = 2p \cdot 20 \Leftrightarrow 40\,000 = 40p \Rightarrow 2p = 2000\] Vậy phương trình chính tắc của \((P)\) là: \[y^2 = 2000x\]
  • b) Với 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng \(1\text{ km}\) thực tế:
    • Đổi các kích thước sang kilômét:
    \(AB = 400\text{ m} = 0{,}4\text{ km}\)
    Khoảng cách từ đỉnh đến \(AB\) là \(20\text{ m} = 0{,}02\text{ km} \Rightarrow x_H = 0{,}02\).
    • Tung độ của điểm \(B\) là \(y_B = \frac{0{,}4}{2} = 0{,}2\).
    • Tọa độ điểm \(B\) là \(B(0{,}02; 0{,}2)\).
    • Thay tọa độ \(B\) vào phương trình \(y^2 = 2px\): \[(0{,}2)^2 = 2p \cdot 0{,}02 \Leftrightarrow 0{,}04 = 0{,}04p \Rightarrow 2p = 2\] Vậy phương trình chính tắc của \((P)\) là: \[y^2 = 2x\]