Trắc nghiệm Toán 10: Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Tọa Độ

Bài 21: Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Tọa Độ

Toán 10 • Kết Nối Tri Thức • 10 câu trắc nghiệm tương tác

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
Giải thích: Phương trình dạng tổng quát \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) là đường tròn khi và chỉ khi \(a^2 + b^2 - c > 0\).
Với phương trình ở phương án A: \(a = 1, b = -2, c = -4\). Ta có \(a^2 + b^2 - c = 1^2 + (-2)^2 - (-4) = 1 + 4 + 4 = 9 > 0\).
Câu 2. Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C): (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16\).
Giải thích: Phương trình đường tròn dạng \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R\).
Đối chiếu \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16\), ta có \(a = 3, b = -1\) và \(R = \sqrt{16} = 4\).
Câu 3. Đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) lần lượt là:
Giải thích: Từ phương trình tổng quát: \(a = \frac{-6}{-2} = 3\), \(b = \frac{2}{-2} = -1\), \(c = -15\).
Tâm \(I(3; -1)\) và bán kính \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - (-15)} = \sqrt{9 + 1 + 15} = 5\).
Câu 4. Phương trình chính đống của đường tròn có tâm \(I(-1; 2)\) và đi qua điểm \(A(2; 6)\) là:
Giải thích: Bán kính đường tròn \(R = IA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
Phương trình đường tròn tâm \(I(-1; 2)\) bán kính \(R = 5\) là: \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25\).
Câu 5. Lập phương trình đường tròn đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(5; 3)\).
Giải thích: Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\): \(I\left(\frac{1+5}{2}; \frac{1+3}{2}\right) = (3; 2)\).
Độ dài đường kính \(AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
Bán kính \(R = \frac{AB}{2} = \sqrt{5} \Rightarrow R^2 = 5\).
Phương trình đường tròn: \((x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 5\).
Câu 6. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 5 = 0\) tại điểm \(M(4; 1) \in (C)\) là:
Giải thích: Đường tròn có tâm \(I(2; -1)\).
Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại \(M(4; 1)\) chính là \(\vec{IM} = (4 - 2; 1 - (-1)) = (2; 2)\), chọn vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (1; 1)\).
Phương trình tiếp tuyến đi qua \(M(4; 1)\): \(1(x - 4) + 1(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\).
Câu 7. Lập phương trình đường tròn có tâm \(I(2; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 11 = 0\).
Giải thích: Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta\) nên bán kính \(R = d(I, \Delta)\):
\(R = \frac{\vert{}3(2) - 4(3) + 11\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\vert{}6 - 12 + 11\vert{}}{5} = \frac{5}{5} = 1\).
Phương trình đường tròn là: \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1\).
Câu 8. Giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\Delta: x + y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^2 + y^2 = 2\) là:
Giải thích: Đường tròn \((C)\) có tâm \(O(0; 0)\) và bán kính \(R = \sqrt{2}\).
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi \(d(O, \Delta) = R\):
\(\frac{\vert{}0 + 0 + m\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{\vert{}m\vert{}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \vert{}m\vert{} = 2 \Leftrightarrow m = \pm 2\).
Câu 9. Cho ba điểm \(A(0; 0)\), \(B(4; 0)\), \(C(0; 6)\). Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:
Giải thích: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A(0; 0)\) do \(A\) thuộc gốc tọa độ, \(B \in Ox\), \(C \in Oy\).
Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền \(BC\): \(I(2; 3)\).
Bán kính \(R = IA = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\).
Phương trình: \((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 13 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 13 \Leftrightarrow x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0\).
Câu 10 Thực tế. Một trạm phát sóng Wi-Fi được đặt tại vị trí có tọa độ \(I(3; 4)\) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị đo là mét). Tín hiệu Wi-Fi có bán kính phủ sóng tối đa là \(10\text{ m}\). Phương trình ranh giới của vùng phủ sóng Wi-Fi đó là:
Giải thích: Ranh giới vùng phủ sóng Wi-Fi là đường tròn tâm \(I(3; 4)\) và bán kính \(R = 10\).
Áp dụng công thức chính đống của đường tròn: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), ta có:
\((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 10^2 \Leftrightarrow (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 100\).

Kết quả của bạn