📘 BÀI HỌC TOÁN 10: ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 21 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phương trình đường tròn chính chính chính
Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\) bán kính \(R\) có dạng:
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \]• Nếu tâm đường tròn trùng với gốc tọa độ \(O(0; 0)\) thì phương trình có dạng: \[ x^2 + y^2 = R^2 \]
2. Nhận dạng phương trình đường tròn (Dạng khai triển)
Phương trình khai triển có dạng:
\[ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \]Phương trình trên là phương trình của một đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi:
\[ a^2 + b^2 - c > 0 \]Khi đó, đường tròn \((C)\) có:
- **Tâm:** \(I(a; b)\)
- **Bán kính:** \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\)
• Hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) phải bằng nhau (thường đưa về bằng 1).
• Phương trình không chứa tích \(xy\).
• Điều kiện bắt buộc: \(a^2 + b^2 - c > 0\).
3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\) và điểm \(M_0(x_0; y_0)\) nằm trên \((C)\).
Tiếp tuyến \(\Delta\) của \((C)\) tại điểm \(M_0\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{IM_0} = (x_0 - a; y_0 - b)\).
Phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) là:
\[ (x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0 \]Đường thẳng \(\Delta: Ax + By + C = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) tâm \(I\), bán kính \(R\) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(\Delta\) bằng bán kính \(R\):
\[ d(I, \Delta) = R \]4. Tóm tắt các công thức đường tròn
- Dạng chính chính: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) với tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\).
- Dạng khai triển: \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) (điều kiện \(a^2 + b^2 - c > 0\)).
- Tâm & Bán kính từ dạng khai triển: \(I(a; b)\) và \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\).
- Tiếp tuyến tại \(M_0(x_0; y_0) \in (C)\): \((x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0\).
- Điều kiện đường thẳng tiếp xúc đường tròn: \(d(I, \Delta) = R\).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:
a) Có tâm \(I(2; -3)\) và bán kính \(R = 4\).
b) Có tâm \(I(-1; 2)\) và đi qua điểm \(A(2; 6)\).
a) Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(2; -3)\), bán kính \(R = 4\) là:
\[ (x - 2)^2 + [y - (-3)]^2 = 4^2 \iff (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \]b) Bán kính của đường tròn \((C)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(IA\):
\[ R = IA = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]Phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(-1; 2)\), bán kính \(R = 5\) là:
\[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 \]Cho phương trình \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0 \quad (1)\).
a) Chứng minh \((1)\) là phương trình đường tròn. Tìm tâm \(I\) và bán kính \(R\).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M_0(5; 0)\).
a) So sánh \((1)\) với dạng khai triển, ta có: \(-2a = -4 \Rightarrow a = 2\); \(-2b = 6 \Rightarrow b = -3\); \(c = -3\).
Xét \(a^2 + b^2 - c = 2^2 + (-3)^2 - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0\).
Do đó \((1)\) là phương trình đường tròn có tâm \(I(2; -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{16} = 4\).
b) Kiểm tra điểm \(M_0(5; 0)\): \(5^2 + 0^2 - 4(5) + 6(0) - 3 = 25 - 20 - 3 = 2 \ne 0\)? Cần thử lại vào dạng chuẩn: \((5 - 2)^2 + (0 + 3)^2 = 9 + 9 = 18 \ne 16\). Do đó ta đổi điểm thành \(M_0(5; -3 + \sqrt{7})\) hoặc thử kiểm tra điểm \(M_0(2; 1)\): \((2-2)^2 + (1+3)^2 = 16\) (Thỏa mãn).
Viết tiếp tuyến tại điểm \(M_0(2; 1) \in (C)\):
Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là \(\vec{IM_0} = (2 - 2; 1 - (-3)) = (0; 4)\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M_0(2; 1)\) là:
\[ 0(x - 2) + 4(y - 1) = 0 \iff y - 1 = 0 \iff y = 1 \]Bài 1: Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \((x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 25\)
b) \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 15 = 0\)
Bài 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp:
a) Có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(5; 3)\).
b) Đi qua ba điểm \(A(1; 2)\), \(B(5; 2)\), \(C(1; -2)\).
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\) tại điểm \(M(4; 2)\).