Giải Bài Tập Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 7.13: Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn \[(x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 36\]
Lời giải:
  • Phương trình đường tròn có dạng: \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\).
  • So sánh với phương trình đề bài: \[(x - (-3))^2 + (y - 3)^2 = 6^2\]
  • Do đó:
    • Tâm của đường tròn là \(I(-3; 3)\).
    • Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt{36} = 6\).
Bài 7.14: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
  1. \(x^2 + y^2 + xy + 4x - 2 = 0\);
  2. \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0\);
  3. \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0\).
Lời giải:
  • a) \(x^2 + y^2 + xy + 4x - 2 = 0\):
    Phương trình chứa số hạng \(xy\) nên không phải là phương trình của đường tròn.
  • b) \(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0\):
    So sánh với dạng phương trình \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\), ta có:
    \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 5\).
    Xét biểu thức \(a^2 + b^2 - c = 1^2 + 2^2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0\).
    Vì \(a^2 + b^2 - c = 0 \le 0\) nên đây không phải là phương trình của đường tròn.
  • c) \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0\):
    So sánh với dạng phương trình \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\), ta có:
    \(a = -3\), \(b = 4\), \(c = 1\).
    Xét biểu thức \(a^2 + b^2 - c = (-3)^2 + 4^2 - 1 = 9 + 16 - 1 = 24 > 0\).
    Do đó, đây là phương trình của một đường tròn với:
    • Tâm \(I(-3; 4)\).
    • Bán kính \(R = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\).
Bài 7.15: Viết phương trình của đường tròn \((C)\) trong mỗi trường hợp sau:
  1. Có tâm \(I(-2; 5)\) và bán kính \(R = 7\);
  2. Có tâm \(I(1; -2)\) và đi qua điểm \(A(-2; 2)\);
  3. Có đường kính \(AB\), với \(A(-1; -3)\), \(B(-3; 5)\);
  4. Có tâm \(I(1; 3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).
Lời giải:
  • a) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(-2; 5)\) và bán kính \(R = 7\) có phương trình: \[(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 7^2 \Leftrightarrow (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49\]
  • b) Bán kính của đường tròn là khoảng cách \(IA\): \[R = IA = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\] Phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; -2)\) và bán kính \(R = 5\) là: \[(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25\]
  • c) Tâm \(I\) của đường tròn là trung điểm của đường kính \(AB\): \[x_I = \frac{-1 + (-3)}{2} = -2, \quad y_I = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \Rightarrow I(-2; 1)\] Bán kính đường tròn \(R = \frac{AB}{2}\): \[AB = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 8^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}\] \[\Rightarrow R = \frac{2\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}\] Phương trình đường tròn \((C)\) là: \[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17\]
  • d) Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: x + 2y + 3 = 0\) nên bán kính \(R\) bằng khoảng cách từ tâm \(I(1; 3)\) đến \(\Delta\): \[R = d(I, \Delta) = \frac{|1 + 2(3) + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|10|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\] Phương trình đường tròn \((C)\) là: \[(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{5})^2 \Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 20\]
Bài 7.16: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\), với \(A(6; -2)\), \(B(4; 2)\), \(C(5; -5)\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Lời giải:
  • Giả sử phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có dạng: \[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \quad (a^2 + b^2 - c > 0)\]
  • Vì các điểm \(A(6; -2)\), \(B(4; 2)\), \(C(5; -5)\) thuộc đường tròn, ta thay tọa độ của chúng vào phương trình: \[\begin{cases} 6^2 + (-2)^2 - 2a(6) - 2b(-2) + c = 0 \\ 4^2 + 2^2 - 2a(4) - 2b(2) + c = 0 \\ 5^2 + (-5)^2 - 2a(5) - 2b(-5) + c = 0 \end{cases}\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} -12a + 4b + c = -40 \\ -8a - 4b + c = -20 \\ -10a + 10b + c = -50 \end{cases}\]
  • Giải hệ phương trình 3 ẩn trên ta được: \[a = 1, \quad b = -2, \quad c = -16\]
  • Thử lại: \(a^2 + b^2 - c = 1^2 + (-2)^2 - (-16) = 21 > 0\) (thỏa mãn).
  • Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là: \[x^2 + y^2 - 2x + 4y - 16 = 0\] (hoặc viết dưới dạng chuẩn: \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 21\)).
Bài 7.17: Cho đường tròn \((C): x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của \((C)\) tại điểm \(M(0; 2)\).
Lời giải:
  • Đường tròn \((C)\) có các hệ số \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 4\).
    \(\Rightarrow\) Tâm của đường tròn là \(I(-1; 2)\).
  • Kiểm tra điểm \(M(0; 2)\): \(0^2 + 2^2 + 2(0) - 4(2) + 4 = 0\) (đúng, vậy \(M\) nằm trên đường tròn \((C)\)).
  • Tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(0; 2)\) đi qua \(M\) và nhận vectơ \(\vec{IM}\) làm vectơ pháp tuyến.
    Ta có: \(\vec{IM} = (0 - (-1); 2 - 2) = (1; 0)\).
  • Phương trình tiếp tuyến \(d\) là: \[1(x - 0) + 0(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
Bài 7.18: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm \(t\) (\(0 \le t \le 180\)) vật thể ở vị trí có tọa độ \((2 + \sin t^\circ; 4 + \cos t^\circ)\).
  1. Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
  2. Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Lời giải:
  • Tọa độ của vật thể tại thời điểm \(t\) là: \[\begin{cases} x = 2 + \sin t^\circ \\ y = 4 + \cos t^\circ \end{cases}\]
  • a) Vị trí ban đầu và vị trí kết thúc:
    • Vị trí ban đầu tại thời điểm \(t = 0\): \[\begin{cases} x = 2 + \sin 0^\circ = 2 + 0 = 2 \\ y = 4 + \cos 0^\circ = 4 + 1 = 5 \end{cases} \Rightarrow \text{Vị trí ban đầu là } A(2; 5)\] • Vị trí kết thúc tại thời điểm \(t = 180\): \[\begin{cases} x = 2 + \sin 180^\circ = 2 + 0 = 2 \\ y = 4 + \cos 180^\circ = 4 + (-1) = 3 \end{cases} \Rightarrow \text{Vị trí kết thúc là } B(2; 3)\]
  • b) Quỹ đạo chuyển động của vật thể:
    Từ hệ tọa độ, ta có: \[\begin{cases} x - 2 = \sin t^\circ \\ y - 4 = \cos t^\circ \end{cases}\] Áp dụng công thức lượng giác \(\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1\), ta có: \[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = \sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ = 1\] Vì \(0 \le t \le 180\) nên \(\sin t^\circ \ge 0 \Rightarrow x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2\).
    Do đó, quỹ đạo chuyển động của vật thể là **nửa đường tròn** có tâm \(I(2; 4)\), bán kính \(R = 1\), nằm ở phía bên phải đường thẳng \(x = 2\) (nửa đường tròn ứng với \(x \ge 2\)), nối từ điểm \(A(2; 5)\) đến điểm \(B(2; 3)\).