Câu 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\Delta_1: 2x - 3y + 1 = 0\) và \(\Delta_2: 4x - 6y + 5 = 0\).
Giải thích: Ta có tỉ số \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\); \(\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}\); \(\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{5}\).
Vì \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}\) nên hai đường thẳng song song với nhau.
Câu 2. Tìm tọa độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \(\Delta_1: x - 2y + 3 = 0\) và \(\Delta_2: 2x + y - 4 = 0\).
Giải thích: Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{cases} x - 2y = -3 \\ 2x + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}\). Vậy giao điểm là \(M(1; 2)\).
Câu 3. Khoảng cách từ điểm \(A(1; 3)\) đến đường thẳng \(\Delta: 3x + 4y - 5 = 0\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức khoảng cách:
\(d(A, \Delta) = \frac{\vert{}3(1) + 4(3) - 5\vert{}}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{\vert{}3 + 12 - 5\vert{}}{5} = \frac{10}{5} = 2\).
Câu 4. Cho hai đường thẳng \(\Delta_1: x + \sqrt{3}y - 2 = 0\) và \(\Delta_2: \sqrt{3}x + y + 1 = 0\). Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) bằng:
Giải thích: Vectơ pháp tuyến: \(\vec{n}_1 = (1; \sqrt{3})\), \(\vec{n}_2 = (\sqrt{3}; 1)\).
\(\cos(\Delta_1, \Delta_2) = \frac{\vert{}\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\vert{}}{\vert{}\vec{n}_1\vert{} \cdot \vert{}\vec{n}_2\vert{}} = \frac{\vert{}1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1\vert{}}{\sqrt{1 + 3} \cdot \sqrt{3 + 1}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Do đó góc giữa hai đường thẳng là \(30^\circ\).
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hai đường thẳng \(\Delta_1: mx + y - 2 = 0\) và \(\Delta_2: x + my + 1 = 0\) vuông góc với nhau.
Giải thích: Hai đường thẳng vuông góc khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0:
\(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \Leftrightarrow m \cdot 1 + 1 \cdot m = 0 \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \(\Delta_1: 3x - 4y + 1 = 0\) và \(\Delta_2: 3x - 4y - 9 = 0\) là:
Giải thích: Lấy điểm \(M(-1; -1) \in \Delta_1\) (vì \(3(-1) - 4(-1) + 1 = 0\)).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta_2\):
\(d(\Delta_1, \Delta_2) = d(M, \Delta_2) = \frac{\vert{}3(-1) - 4(-1) - 9\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\vert{}-3 + 4 - 9\vert{}}{5} = \frac{8}{5}\).
Sửa điểm chính xác: Chọn $M(1; 1) \in \Delta_1$ vì $3(1)-4(1)+1 = 0$. Khoảng cách đến $\Delta_2$: $\frac{\vert{}3(1)-4(1)-9\vert{}}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{\vert{}-10\vert{}}{5} = 2$.
Câu 7. Cho hai đường thẳng \(\Delta_1: 2x - y + 3 = 0\) và \(\Delta_2: x + 2y - 1 = 0\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_1 = (2; -1)\) và \(\vec{n}_2 = (1; 2)\).
Xét tích vô hướng: \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2(1) + (-1)(2) = 2 - 2 = 0\). Do đó hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Câu 8. Giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(I(1; -1)\) bán kính \(R = 2\) (tức là khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta\) bằng \(2\)) là:
Giải thích: Yêu cầu bài toán tương đương \(d(I, \Delta) = R\):
\(\frac{\vert{}3(1) - 4(-1) + m\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 2 \Leftrightarrow \frac{\vert{}7 + m\vert{}}{5} = 2 \Leftrightarrow \vert{}7 + m\vert{} = 10 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 7 + m = 10 \Rightarrow m = 3 \\ 7 + m = -10 \Rightarrow m = -17 \end{array}\right.\)
Câu 9. Điểm \(M\) thuộc trục \(Ox\) và cách đều hai đường thẳng \(\Delta_1: x + y - 2 = 0\) và \(\Delta_2: x - y + 4 = 0\) có tọa độ là:
Giải thích: Điểm \(M \in Ox \Rightarrow M(x_0; 0)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta_1\) là \(d_1 = \frac{\vert{}x_0 + 0 - 2\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\vert{}x_0 - 2\vert{}}{\sqrt{2}}\).
Khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta_2\) là \(d_2 = \frac{\vert{}x_0 - 0 + 4\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\vert{}x_0 + 4\vert{}}{\sqrt{2}}\).
Vì \(d_1 = d_2 \Rightarrow \vert{}x_0 - 2\vert{} = \vert{}x_0 + 4\vert{} \Leftrightarrow x_0 - 2 = - (x_0 + 4) \Leftrightarrow 2x_0 = -2 \Leftrightarrow x_0 = -1\). Vậy \(M(-1; 0)\).
Câu 10 Thực tế. Một tháp kiểm soát không lưu tại sân bay được đặt tại vị trí gốc tọa độ \(O(0; 0)\). Một máy bay thương mại bay theo đường thẳng có phương trình \(\Delta: 3x - 4y + 25 = 0\) (đơn vị tọa độ tính theo kilomet). Ra-đa của tháp kiểm soát phát hiện máy bay khi máy bay đi vào vùng bán kính ngắn nhất. Khoảng cách ngắn nhất từ máy bay đến tháp kiểm soát không lưu bằng bao nhiêu kilomet?
Giải thích: Khoảng cách ngắn nhất từ vị trí tháp kiểm soát không lưu \(O(0; 0)\) đến đường bay \(\Delta\) chính là khoảng cách từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(\Delta\):
\(d(O, \Delta) = \frac{\vert{}3(0) - 4(0) + 25\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{25}{5} = 5\text{ (km)}\).