📘 BÀI HỌC TOÁN 10: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 20 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \(\Delta_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0\) và \(\Delta_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0\).
Tọa độ giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) (nếu có) là nghiệm của hệ phương trình:
\[ \begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{cases} \quad (*) \]- **\(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\):** Hệ \((*)\) có nghiệm duy nhất.
- **\(\Delta_1 \parallel \Delta_2\):** Hệ \((*)\) vô nghiệm.
- **\(\Delta_1 \equiv \Delta_2\):** Hệ \((*)\) có vô số nghiệm.
• \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2 \iff \displaystyle\frac{a_1}{a_2} \ne \displaystyle\frac{b_1}{b_2}\)
• \(\Delta_1 \parallel \Delta_2 \iff \displaystyle\frac{a_1}{a_2} = \displaystyle\frac{b_1}{b_2} \ne \displaystyle\frac{c_1}{c_2}\)
• \(\Delta_1 \equiv \Delta_2 \iff \displaystyle\frac{a_1}{a_2} = \displaystyle\frac{b_1}{b_2} = \displaystyle\frac{c_1}{c_2}\)
2. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) có các VTPT tương ứng là \(\vec{n}_1 = (a_1; b_1)\) và \(\vec{n}_2 = (a_2; b_2)\).
Góc \(\varphi\) giữa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) (\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ\)) được tính theo công thức:
\[ \cos \varphi = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \displaystyle\frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \displaystyle\frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2}} \]\[ \Delta_1 \perp \Delta_2 \iff \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 \]
Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông (không bao giờ vượt quá \(90^\circ\)).
3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M_0(x_0; y_0)\) đến đường thẳng \(\Delta: ax + by + c = 0\) được kí hiệu là \(d(M_0, \Delta)\) và tính bằng công thức:
\[ d(M_0, \Delta) = \displaystyle\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]Nếu \(\Delta_1: ax + by + c_1 = 0\) và \(\Delta_2: ax + by + c_2 = 0\) (\(c_1 \ne c_2\)) song song với nhau thì khoảng cách giữa chúng là:
\[ d(\Delta_1, \Delta_2) = \displaystyle\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]4. Tóm tắt các công thức quan trọng
- Vị trí tương đối: Dựa vào tỉ số hệ số \(\displaystyle\frac{A_1}{A_2}, \displaystyle\frac{B_1}{B_2}, \displaystyle\frac{C_1}{C_2}\) hoặc giải hệ phương trình giao điểm.
- Điều kiện vuông góc: \(a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0\) (hoặc \(\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0\)).
- Góc giữa hai đường thẳng: \(\cos \varphi = \displaystyle\frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}\).
- Khoảng cách từ điểm đến ĐT: \(d(M_0, \Delta) = \displaystyle\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(\Delta_1: 2x - y + 3 = 0\) và \(\Delta_2: x + 2y - 1 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm nếu có.
• Xét tỉ số hệ số: \(\displaystyle\frac{2}{1} \ne \displaystyle\frac{-1}{2}\), do đó \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.
• Tọa độ giao điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\[ \begin{cases} 2x - y + 3 = 0 \\ x + 2y - 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2x - y = -3 \\ x + 2y = 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases} \]Vậy \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) tại điểm \(M(-1; 1)\).
Cho điểm \(A(2; 3)\) và đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 1 = 0\).
a) Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\).
b) Tính góc giữa \(\Delta\) và đường thẳng \(d: x - 2y + 5 = 0\).
a) Khoảng cách từ điểm \(A(2; 3)\) đến \(\Delta\) là:
\[ d(A, \Delta) = \displaystyle\frac{|3(2) - 4(3) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \displaystyle\frac{|6 - 12 + 1|}{\sqrt{25}} = \displaystyle\frac{|-5|}{5} = 1 \]b) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta\) là \(\vec{n}_1 = (3; -4)\), của \(d\) là \(\vec{n}_2 = (1; -2)\).
Gọi \(\varphi\) là góc giữa \(\Delta\) và \(d\), ta có:
\[ \cos \varphi = \displaystyle\frac{|3(1) + (-4)(-2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \displaystyle\frac{|3 + 8|}{5 \cdot \sqrt{5}} = \displaystyle\frac{11}{5\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{11\sqrt{5}}{25} \]Suy ra \(\varphi \approx 10^\circ 18'\).
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d_1: 3x - 2y + 1 = 0\) và \(d_2: 6x - 4y + 5 = 0\)
b) \(d_1: x - 3y + 2 = 0\) và \(d_2: 3x + y - 1 = 0\)
Bài 2: Cho đường thẳng \(\Delta: 4x - 3y + 2 = 0\).
a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0)\) đến đường thẳng \(\Delta\).
b) Tìm góc giữa \(\Delta\) và đường thẳng \(d: x + 7y - 3 = 0\).