Giải Bài Tập Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 7.7: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
  1. \(\Delta_1: 3\sqrt{2}x + \sqrt{2}y - \sqrt{3} = 0\) và \(\Delta_2: 6x + 2y - \sqrt{6} = 0\).
  2. \(d_1: x - \sqrt{3}y + 2 = 0\) và \(d_2: \sqrt{3}x - 3y + 2 = 0\).
  3. \(m_1: x - 2y + 1 = 0\) và \(m_2: 3x + y - 2 = 0\).
Lời giải:
  • a) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\vec{n_1} = (3\sqrt{2}; \sqrt{2})\), của \(\Delta_2\) là \(\vec{n_2} = (6; 2)\).
    Nhận thấy: \[\frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{3}}{-\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\] Do đó, hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) trùng nhau.
  • b) Vectơ pháp tuyến của \(d_1\) là \(\vec{n_1} = (1; -\sqrt{3})\), của \(d_2\) là \(\vec{n_2} = (\sqrt{3}; -3)\).
    Ta có tỉ số: \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} \neq \frac{2}{2}\] Do đó, hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) song song với nhau.
  • c) Vectơ pháp tuyến của \(m_1\) là \(\vec{n_1} = (1; -2)\), của \(m_2\) là \(\vec{n_2} = (3; 1)\).
    Ta có tỉ số \(\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{1}\), nên \(m_1\) và \(m_2\) cắt nhau.
    Mặt khác, \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 1 = 1 \neq 0\), nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau.
Bài 7.8: Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
  1. \(\Delta_1: \sqrt{3}x + y - 4 = 0\) và \(\Delta_2: x + \sqrt{3}y + 3 = 0\);
  2. \(d_1: \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}\) và \(d_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - 3s \end{cases}\) (\(t, s\) là các tham số).
Lời giải:
  • a) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta_1\) là \(\vec{n_1} = (\sqrt{3}; 1)\), của \(\Delta_2\) là \(\vec{n_2} = (1; \sqrt{3})\).
    Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\): \[\cos \varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|\sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\] \(\Rightarrow \varphi = 30^\circ\).
  • b) Vectơ chỉ phương của \(d_1\) là \(\vec{u_1} = (2; 4)\), của \(d_2\) là \(\vec{u_2} = (1; -3)\).
    Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\): \[\cos \varphi = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} = \frac{|2 \cdot 1 + 4 \cdot (-3)|}{\sqrt{2^2 + 4^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \(\Rightarrow \varphi = 45^\circ\).
Bài 7.9: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A(0; -2)\) và đường thẳng \(\Delta: x + y - 4 = 0\).
  1. Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta\).
  2. Viết phương trình đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M(-1; 0)\) và song song với \(\Delta\).
  3. Viết phương trình đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(N(0; 3)\) và vuông góc với \(\Delta\).
Lời giải:
  • a) Khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta\): \[d(A, \Delta) = \frac{|0 + (-2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\]
  • b) Phương trình đường thẳng \(a\):
    Vì đường thẳng \(a\) song song với \(\Delta\) nên \(a\) có dạng: \(x + y + c = 0\) (với \(c \neq -4\)).
    Do \(a\) đi qua \(M(-1; 0)\) nên: \[-1 + 0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1 \text{ (thỏa mãn } c \neq -4)\] Vậy phương trình đường thẳng \(a\) là: \(x + y + 1 = 0\).
  • c) Phương trình đường thẳng \(b\):
    Vì đường thẳng \(b\) vuông góc với \(\Delta: x + y - 4 = 0\) (có \(\vec{n_\Delta} = (1; 1)\)) nên \(b\) nhận \(\vec{n_b} = (1; -1)\) làm vectơ pháp tuyến.
    Đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(N(0; 3)\) có phương trình là: \[1(x - 0) - 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\]
Bài 7.10: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; 0)\), \(B(3; 2)\) và \(C(-2; -1)\).
  1. Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).
  2. Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Lời giải:
  • a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\):
    Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\).
    Vectơ \(\vec{BC} = (-2 - 3; -1 - 2) = (-5; -3)\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\).
    \(\Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\) là \(\vec{n_{BC}} = (3; -5)\).
    Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B(3; 2)\) là: \[3(x - 3) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 5y + 1 = 0\]
    Độ dài đường cao \(h_a = d(A, BC)\): \[h_a = \frac{|3(1) - 5(0) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-5)^2}} = \frac{4}{\sqrt{34}} = \frac{2\sqrt{34}}{17}\]
  • b) Tính diện tích tam giác \(ABC\):
    Độ dài cạnh đáy \(BC\): \[BC = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{34}\]
    Diện tích tam giác \(ABC\) là: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot h_a \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34} = 2\]
Bài 7.11: Chứng minh rằng hai đường thẳng \(d: y = ax + b \ (a \neq 0)\) và \(d': y = a'x + b' \ (a' \neq 0)\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(aa' = -1\).
Lời giải:
  • Viết lại phương trình hai đường thẳng dưới dạng tổng quát:
    \(d: ax - y + b = 0 \Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến \(\vec{n_1} = (a; -1)\).
    \(d': a'x - y + b' = 0 \Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến \(\vec{n_2} = (a'; -1)\).
  • Ta có: \[d \perp d' \Leftrightarrow \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0\] \[\Leftrightarrow a \cdot a' + (-1) \cdot (-1) = 0\] \[\Leftrightarrow aa' + 1 = 0 \Leftrightarrow aa' = -1\] Đó chính là điều phải chứng minh.
Bài 7.12: Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí \(O(0; 0)\), \(A(1; 0)\), \(B(1; 3)\) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Lời giải:
  • Vì vận tốc âm thanh lan truyền là như nhau theo mọi hướng và cả 3 thiết bị tại \(O, A, B\) nhận được tín hiệu tại cùng một thời điểm, nên khoảng cách từ vị trí phát tín hiệu (gọi là điểm \(I(x; y)\)) đến 3 điểm \(O, A, B\) phải bằng nhau: \[IO = IA = IB\] Do đó, vị trí phát tín hiệu \(I\) chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OAB\).
  • Ta có:
    • \(IO^2 = x^2 + y^2\)
    • \(IA^2 = (x - 1)^2 + y^2\)
    • \(IB^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2\)
  • Lập hệ phương trình từ \(IO^2 = IA^2\) và \(IA^2 = IB^2\): \[\begin{cases} x^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2 \\ (x - 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2 \end{cases}\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \\ y^2 = y^2 - 6y + 9 \end{cases}\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} 2x = 1 \\ 6y = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{3}{2} \end{cases}\]
  • Kết luận: Vị trí phát tín hiệu âm thanh là điểm \(I\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right)\).