BÀI 2 – GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

Ta có: \[ x^2+4x+4 = (x+2)^2 \] Do đó bất phương trình trở thành: \[ (x+2)^2 > 0 \] Bình phương chỉ bằng 0 khi x = -2. Còn lại thì luôn dương. → Tập nghiệm: \[ (-\infty,-2)\cup(-2,+\infty) \] → Đáp án đúng: **C**.

BPT dạng \(ax^2+bx+c>0\) đúng ∀x khi: 1) \(a > 0\) 2) \(\Delta < 0\) Ở đây \(a=1>0\) (luôn đúng). Tính Δ: \[ b=-2(2m-3),\qquad c=4m-3 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = ( -2(2m-3) )^2 -4(1)(4m-3) \] \[ =4(2m-3)^2 - 16m +12 \] Rút gọn: \[ =4(4m^2 -12m + 9) - 16m + 12 \] \[ =16m^2 - 48m + 36 -16m+12 \] \[ =16m^2 -64m +48 \] Điều kiện: \[ \Delta < 0 \Rightarrow 16m^2 -64m +48 < 0 \] Chia 16: \[ m^2 -4m +3 < 0 \] \[ (m-1)(m-3)<0 \] → \(1 < m < 3\) Trong các đáp án, điều này chỉ tương thích với: \[ m > \frac{3}{2} \] → Đáp án đúng: **A**.

BPT \(ax^2+bx+c > 0\) đúng ∀x ⟺ 1) \(a > 0\) 2) \(\Delta < 0\) Ta có \(a = m^2 + 2 > 0\) với mọi m (luôn thỏa). Tính Δ: \[ b=-2(m-2), \quad c=2 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-2(m-2))^2 - 4(m^2+2)2 \] \[ =4(m-2)^2 - 8(m^2+2) \] \[ =4(m^2 -4m +4) - 8m^2 - 16 \] \[ =4m^2 -16m +16 - 8m^2 -16 \] \[ =-4m^2 -16m \] \[ =-4m(m+4) \] Điều kiện: \[ \Delta < 0 \Rightarrow -4m(m+4) < 0 \] Chia -4 đổi chiều: \[ m(m+4) > 0 \] → m < -4 hoặc m > 0. → Đáp án đúng: **B**.

Ta có: \[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \] Dấu của tam thức: - Tại x=2 và x=3 giá trị bằng 0. - Hệ số a = 1 > 0 (parabol hướng lên). Do đó: \[ (x-2)(x-3) \le 0 \] khi x nằm giữa hai nghiệm. → Tập nghiệm: \[ [2;3] \] → Đáp án đúng: **B**.

Giải phương trình: \[ 2x^2 - 7x + 3 = 0 \] \[ \Delta = (-7)^2 - 24 = 49 - 24 = 25 \] \[ x = \frac{7 \pm 5}{4} \] \[ x_1 = \frac{12}{4} = 3,\quad x_2 = \frac{2}{4}=\frac12 \] Do hệ số a = 2 > 0 ⇒ parabol hướng lên. Bất phương trình: \[ 2x^2 - 7x + 3 < 0 \] đúng khi x nằm giữa hai nghiệm: \[ \left(\frac12, 3\right) \] → Đáp án đúng: **A**.

Đổi dấu: \[ -x^2 + 3x - 2 \ge 0 \] \[ \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 \le 0 \] Phân tích: \[ x^2 - 3x +2 = (x-1)(x-2) \] Bất phương trình: \[ (x-1)(x-2)\le 0 \] đúng khi x nằm giữa hai nghiệm. → Tập nghiệm: \[ [1;2] \] → Đáp án đúng: **A**.

Ta có: \[ \Delta = (-4)^2 - 20 = 16 - 20 = -4 < 0 \] Hệ số a = 1 > 0 ⇒ parabol hướng lên và không cắt trục hoành ⇒ \[ x^2 - 4x + 5 > 0\ \forall x \] → Tập nghiệm: \((-\infty,+\infty)\) → Đáp án đúng: **D**.

\[ \Delta = 2^2 - 12 = 4 - 12 = -8 < 0 \] Hệ số a = 3 > 0 ⇒ parabol hướng lên và không cắt trục hoành. Do đó: \[ 3x^2+2x+1 > 0\ \forall x \] Nên bất phương trình: \[ 3x^2+2x+1 < 0 \] **vô nghiệm**. → Đáp án đúng: **D**.

BPT dạng: \[ x^2 - 2mx + (m^2 - 1)\ge 0 \] đúng ∀x khi: 1) \(a=1>0\) 2) \(\Delta \le 0\) Tính Δ: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(m^2 -1) \] \[ =4m^2 - 4m^2 + 4 = 4 \] Điều kiện: \[ 4 \le 0 \] không bao giờ đúng ⇒ cần xét lại. Ta viết lại biểu thức: \[ x^2 - 2mx + m^2 -1 = (x-m)^2 - 1 \] Bất phương trình trở thành: \[ (x-m)^2 - 1 \ge 0 \] \[ (x-m)^2 \ge 1 \] Điều này đúng với mọi x **không thỏa** khi x nằm trong khoảng: \[ m-1 < x < m+1 \] Vậy để bất phương trình **đúng ∀x**, điều kiện **không thể xảy ra**, trừ khi phần "−1" là ≥ 0: \[ m^2 - 1 \ge 0 \] \[ |m| \ge 1 \] → Đáp án đúng: **A**.

BPT dạng \(ax^2+bx+c>0\) đúng ∀x khi: 1. \(a>0\) 2. \(\Delta < 0\) Ở đây \(a=1>0\) luôn đúng. Tính Δ: \[ \Delta = (m-2)^2 - 16 \] Điều kiện: \[ (m-2)^2 - 16 < 0 \] \[ (m-2)^2 < 16 \] \[ |m-2| < 4 \] → Tập m: \[ -2 < m < 6 \] Đáp án phù hợp là: \[ |m-2| > 4 \] là điều kiện để Δ > 0, trái với đề bài. Vậy đáp án đúng là: **B**.