Câu 1. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\Delta: 2x - 3y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là:
Giải thích: Đường thẳng có dạng tổng quát \(ax + by + c = 0\) sẽ nhận \(\vec{n} = (a; b)\) làm vectơ pháp tuyến. Do đó, đường thẳng \(2x - 3y + 5 = 0\) có VPT là \(\vec{n} = (2; -3)\).
Câu 2. Trong mặt phẳng \(Oxy\), vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta: \begin{cases} x = 1 - 4t \\ y = 2 + 3t \end{cases}\)?
Giải thích: Đường thẳng có phương trình tham số \(\begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + u_2 t \end{cases}\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (u_1; u_2)\). Do đó VCP là \(\vec{u} = (-4; 3)\).
Câu 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M(1; -2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (3; 4)\) là:
Giải thích: Phương trình đường thẳng đi qua \(M(x_0; y_0)\) có VPT \(\vec{n} = (a; b)\) là: \(a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0\).
Thay số: \(3(x - 1) + 4(y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3 + 4y + 8 = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 5 = 0\).
Câu 4. Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(2; 1)\) và \(B(4; 5)\) có phương trình tham số là:
Giải thích: Vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (4 - 2; 5 - 1) = (2; 4) = 2(1; 2)\). Ta chọn VCP rút gọn \(\vec{u} = (1; 2)\).
Đường thẳng đi qua \(A(2; 1)\) với VCP \(\vec{u} = (1; 2)\) có PTTS là: \(\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + 2t \end{cases}\).
Câu 5. Chuyển phương trình tham số \(\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 + 2t \end{cases}\) sang dạng phương trình tổng quát:
Giải thích: Đường thẳng có VCP \(\vec{u} = (3; 2)\) nên có VPT \(\vec{n} = (2; -3)\).
Đường thẳng đi qua điểm \(M(2; -1)\) nên PTTQ là: \(2(x - 2) - 3(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x - 4 - 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y - 7 = 0\).
Câu 6. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm \(A(3; 0)\) và \(B(0; -2)\) là:
Giải thích: Áp dụng phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt \(Ox\) tại \((a; 0)\) và \(Oy\) tại \((0; b)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\). Với \(a = 3, b = -2\) ta có: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1\).
Câu 7. Cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; 3)\), \(B(-2; 1)\), \(C(4; -1)\). Phương trình đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là:
Giải thích: Tọa độ trung điểm \(M\) của cạnh \(BC\) là \(M\left(\frac{-2+4}{2}; \frac{1+(-1)}{2}\right) = (1; 0)\).
Đường thẳng \(AM\) đi qua \(A(1; 3)\) và \(M(1; 0)\). Nhận thấy hoành độ hai điểm đều bằng \(1\), nên phương trình đường thẳng \(AM\) là \(x = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 0\).
Sửa câu hỏi chuẩn dạng bài PTTQ: Nếu $M=(1;0)$ và $A(2;3) \Rightarrow \vec{AM} = (-1;-3) \Rightarrow \vec{n} = (3;-1) \Rightarrow 3x - y - 3 = 0$.
Với $A(1;3), M(1;0) \Rightarrow$ đường thẳng thẳng đứng $x = 1$. Dạng tổng quát $3(x-1) + 0(y-3) = 0 \Leftrightarrow 3x - 3 = 0$.
Câu 8. Điểm nào sau đây **không** thuộc đường thẳng \(d: 2x - y + 3 = 0\)?
Giải thích: Thay tọa độ từng điểm vào phương trình \(2x - y + 3 = 0\):
- Điểm \(Q(2; 5)\): \(2(2) - 5 + 3 = 2 \ne 0\). Do đó điểm \(Q\) không thuộc đường thẳng \(d\).
Câu 9. Cho hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B(3; 6)\). Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) là:
Giải thích: Trung điểm \(I\) của \(AB\) có tọa độ \(I\left(\frac{1+3}{2}; \frac{2+6}{2}\right) = (2; 4)\).
Vectơ \(\vec{AB} = (2; 4) = 2(1; 2)\) là vectơ pháp tuyến của đường trung trực.
PTTQ đường trung trực: \(1(x - 2) + 2(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 10 = 0\).
Câu 10 Thực tế. Màn hình của một thiết bị đếm bước đi thiết lập hệ trục tọa độ \(Oxy\). Một người tập thể dục đi bộ theo một đường thẳng từ điểm xuất phát \(A(1; 2)\) đến điểm nghỉ \(B(5; 10)\) (đơn vị tọa độ tính theo mét). Giả sử người đó di chuyển với tốc độ không đổi và vị trí của người đó tại thời điểm \(t\) (giây) được cho bởi phương trình tham số của đường thẳng \(AB\). Phương trình tham số nào dưới đây mô tả chính xác quỹ đạo chuyển động của người đó?
Giải thích: Vectơ chỉ phương từ \(A\) đến \(B\) là \(\vec{AB} = (5 - 1; 10 - 2) = (4; 8) = 4(1; 2)\).
Đường thẳng xuất phát từ \(A(1; 2)\) có vectơ chỉ phương cùng hướng với \(\vec{u} = (1; 2)\).
Phương trình tham số mô tả quỹ đạo chuyển động là: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \end{cases}\) (với \(t \ge 0\)).