Bài học Toán THPT - Phương Trình Đường Thẳng

📘 BÀI HỌC TOÁN 10: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Chương IX: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 19 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Vectơ chỉ phương và Vectơ pháp tuyến

📌 Định nghĩa:
  • **Vectơ chỉ phương (VTCP):** Vectơ \(\vec{u} \ne \vec{0}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) nếu giá của nó **song song hoặc trùng** với \(\Delta\).
  • **Vectơ pháp tuyến (VTPT):** Vectơ \(\vec{n} \ne \vec{0}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\) nếu giá của nó **vuông góc** với \(\Delta\).
💡 Mối liên hệ giữa VTCP và VTPT:

• Nếu \(\vec{u} = (a; b)\) là một VTCP của \(\Delta\) thì \(\vec{n} = (-b; a)\) hoặc \(\vec{n} = (b; -a)\) là một VTPT của \(\Delta\).

• Hai vectơ này vuông góc với nhau nên tích vô hướng: \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\).

• Nếu \(\vec{u}\) là VTCP (hoặc VTPT) thì \(k\vec{u}\) (\(k \ne 0\)) cũng là VTCP (hoặc VTPT) của đường thẳng đó.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

📌 Định nghĩa và công thức:

Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0)\) và nhận \(\vec{u} = (a; b)\) làm VTCP có phương trình tham số là:

\[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]

Trong đó \(t\) là tham số.

💡 Ứng dụng của phương trình tham số:

Mỗi giá trị cụ thể của \(t\) cho ta tọa độ của một điểm \(M(x_0 + at; y_0 + bt)\) thuộc đường thẳng \(\Delta\). Dạng này cực kỳ hữu ích khi tìm điểm tham số hóa trên đường thẳng.

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng

📌 Định nghĩa và công thức:

• Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0)\) và nhận \(\vec{n} = (A; B)\) làm VTPT có phương trình:

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 \]

• Biến đổi thu gọn về dạng **Phương trình tổng quát**:

\[ Ax + By + C = 0 \quad (A^2 + B^2 \ne 0) \]

Trong đó \(C = -Ax_0 - By_0\).

💡 Các trường hợp đặc biệt của PTTQ:

• \(A = 0 \iff By + C = 0\): Đường thẳng song song hoặc trùng với trục \(Ox\).

• \(B = 0 \iff Ax + C = 0\): Đường thẳng song song hoặc trùng với trục \(Oy\).

• \(C = 0 \iff Ax + By = 0\): Đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\).

• **Phương trình đoạn chắn:** Đường thẳng cắt \(Ox\) tại \(A(a; 0)\) và \(Oy\) tại \(B(0; b)\) (\(a, b \ne 0\)) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

4. Tóm tắt các dạng phương trình đường thẳng

📌 Tổng hợp công thức cần nhớ:
  • Khi biết điểm \(M_0(x_0; y_0)\) và VTCP \(\vec{u} = (a; b)\):
    ➡ Phương trình tham số: \(\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}\)
  • Khi biết điểm \(M_0(x_0; y_0)\) và VTPT \(\vec{n} = (A; B)\):
    ➡ Phương trình tổng quát: \(A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0 \iff Ax + By + C = 0\).
  • Khi biết 2 điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\):
    ➡ VTCP là \(\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)\), sau đó lập PTTS hoặc PTTQ.
  • Phương trình theo hệ số góc \(k\):
    ➡ \(y = k(x - x_0) + y_0\) với \(k = \frac{b}{a}\) (với \(\vec{u}=(a;b), a \ne 0\)).

5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện

Ví dụ 1 Lập phương trình tham số và tổng quát

Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(2; -3)\) và nhận \(\vec{n} = (1; -2)\) làm vectơ pháp tuyến.

Lời giải:

• **Phương trình tổng quát:**

Vì \(\Delta\) đi qua \(A(2; -3)\) và có VTPT \(\vec{n} = (1; -2)\) nên PTTQ là:

\[ 1(x - 2) - 2[y - (-3)] = 0 \iff x - 2y - 8 = 0 \]

• **Phương trình tham số:**

Vì VTPT là \(\vec{n} = (1; -2)\) nên VTCP của \(\Delta\) là \(\vec{u} = (2; 1)\).

Do đó, phương trình tham số của \(\Delta\) đi qua \(A(2; -3)\) là:

\[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -3 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
Ví dụ 2 Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(1; 3)\) và \(B(-2; 5)\).

Lời giải:

• Ta có vectơ chỉ phương của \(d\) là: \(\vec{AB} = (-2 - 1; 5 - 3) = (-3; 2)\).

• Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(d\) là: \(\vec{n} = (2; 3)\).

• Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A(1; 3)\) là:

\[ 2(x - 1) + 3(y - 3) = 0 \iff 2x + 3y - 11 = 0 \]
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Cho điểm \(M(-1; 4)\) và hai vectơ \(\vec{u} = (3; -2)\), \(\vec{n} = (2; 5)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d_1\) đi qua \(M\) và nhận \(\vec{u}\) làm VTCP.

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d_2\) đi qua \(M\) và nhận \(\vec{n}\) làm VTPT.

Bài 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; 1)\), \(B(-1; 0)\), \(C(3; -4)\).

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh \(BC\).

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\).