Giải Bài Tập Bài 19: Phương Trình Đường Thẳng - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 19: Phương trình đường thẳng

Bài 7.1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\vec{n} = (2; 1)\), \(\vec{v} = (3; 2)\), \(A(1; 3)\), \(B(-2; 1)\).
  1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\).
  2. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua \(B\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{v}\).
  3. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(AB\).
Lời giải:
  • a) Đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua điểm \(A(1; 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (2; 1)\) có phương trình tổng quát là: \[2(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0\]
  • b) Đường thẳng \(\Delta_2\) đi qua điểm \(B(-2; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{v} = (3; 2)\) có phương trình tham số là: \[\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
  • c) Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec{AB} = (-2 - 1; 1 - 3) = (-3; -2)\) (hoặc có thể chọn vectơ chỉ phương cùng phương là \(\vec{u} = (3; 2)\)).
    Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(1; 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (3; 2)\) có phương trình tham số là: \[\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
Bài 7.2: Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ.
Lời giải:
  • Trục hoành \(Ox\): Đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\) và vuông góc với trục \(Oy\) nên nhận \(\vec{j} = (0; 1)\) làm vectơ pháp tuyến.
    Phương trình tổng quát của trục \(Ox\) là: \[0(x - 0) + 1(y - 0) = 0 \Leftrightarrow y = 0\]
  • Trục tung \(Oy\): Đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\) và vuông góc với trục \(Ox\) nên nhận \(\vec{i} = (1; 0)\) làm vectơ pháp tuyến.
    Phương trình tổng quát của trục \(Oy\) là: \[1(x - 0) + 0(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
Bài 7.3: Cho hai đường thẳng \(\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}\) và \(\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0\).
  1. Lập phương trình tổng quát của \(\Delta_1\).
  2. Lập phương trình tham số của \(\Delta_2\).
Lời giải:
  • a) Lập phương trình tổng quát của \(\Delta_1\):
    Cách 1: Từ phương trình tham số của \(\Delta_1\), ta có: \[\begin{cases} x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2} \\ y = 3 + 5t \Rightarrow t = \frac{y - 3}{5} \end{cases}\] Cho hai vế bằng nhau: \[\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{5} \Leftrightarrow 5(x - 1) = 2(y - 3) \Leftrightarrow 5x - 2y + 1 = 0\] Cách 2: Đường thẳng \(\Delta_1\) đi qua điểm \(M(1; 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (2; 5)\) \(\Rightarrow\) vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (5; -2)\).
    Phương trình tổng quát: \(5(x - 1) - 2(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y + 1 = 0\).
  • b) Lập phương trình tham số của \(\Delta_2\):
    Đường thẳng \(\Delta_2: 2x + 3y - 5 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n_2} = (2; 3)\), do đó có vectơ chỉ phương \(\vec{u_2} = (3; -2)\).
    Cho \(x = 1 \Rightarrow 2(1) + 3y - 5 = 0 \Rightarrow y = 1\). Suy ra \(\Delta_2\) đi qua điểm \(N(1; 1)\).
    Phương trình tham số của \(\Delta_2\) là: \[\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 - 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
Bài 7.4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1; 2)\), \(B(3; 0)\) và \(C(-2; -1)\).
  1. Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A\).
  2. Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B\).
Lời giải:
  • a) Đường cao kẻ từ \(A\) (kí hiệu là \(AH\)):
    Đường cao \(AH\) vuông góc với cạnh \(BC\) nên nhận \(\vec{BC}\) làm vectơ pháp tuyến.
    Ta có: \(\vec{BC} = (-2 - 3; -1 - 0) = (-5; -1)\). Có thể chọn vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (5; 1)\).
    Đường thẳng \(AH\) đi qua điểm \(A(1; 2)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (5; 1)\) có phương trình tổng quát là: \[5(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\]
  • b) Đường trung tuyến kẻ từ \(B\) (kí hiệu là \(BM\)):
    Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\).
    Tọa độ của \(M\) là: \[\begin{cases} x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + (-2)}{2} = -\frac{1}{2} \\ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow M\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\]
    Đường trung tuyến \(BM\) đi qua điểm \(B(3; 0)\) và nhận \(\vec{BM}\) làm vectơ chỉ phương: \[\vec{BM} = \left(-\frac{1}{2} - 3; \frac{1}{2} - 0\right) = \left(-\frac{7}{2}; \frac{1}{2}\right)\] Chọn vectơ chỉ phương cùng phương \(\vec{u} = (-7; 1) \Rightarrow\) vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{BM}} = (1; 7)\).
    Phương trình đường trung tuyến \(BM\) là: \[1(x - 3) + 7(y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 7y - 3 = 0\]
Bài 7.5: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm \(A(a; 0)\), \(B(0; b)\) với \(ab \neq 0\) (H.7.3) có phương trình là:
\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]
Lời giải:
  • Ta có hai điểm \(A(a; 0)\) và \(B(0; b)\) với \(a \neq 0, b \neq 0\).
    Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\vec{AB} = (0 - a; b - 0) = (-a; b)\).
  • Suy ra đường thẳng \(AB\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (b; a)\).
  • Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(a; 0)\) có dạng: \[b(x - a) + a(y - 0) = 0 \Leftrightarrow bx + ay - ab = 0 \Leftrightarrow bx + ay = ab\]
  • Vì \(ab \neq 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(ab\), ta được: \[\frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab} \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\] Đó chính là điều phải chứng minh.
Bài 7.6: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ \(21{,}2^\circ\) Bắc, kinh độ \(105{,}8^\circ\) Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ \(16{,}1^\circ\) Bắc, kinh độ \(108{,}2^\circ\) Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm \(t\) giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ \(x^\circ\) Bắc, kinh độ \(y^\circ\) Đông được tính theo công thức:
\[\begin{cases} x = 21{,}2 - \frac{153}{40}t \\ y = 105{,}8 + \frac{9}{5}t \end{cases}\]
  1. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
  2. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (\(17^\circ\) Bắc) chưa?
Lời giải:
  • a) Chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
    Khi máy bay đến sân bay Đà Nẵng thì tọa độ vị trí của máy bay trùng với tọa độ của sân bay Đà Nẵng: vĩ độ \(x = 16{,}1^\circ\) và kinh độ \(y = 108{,}2^\circ\).
    Thay \(x = 16{,}1\) vào công thức vĩ độ: \[16{,}1 = 21{,}2 - \frac{153}{40}t \Leftrightarrow \frac{153}{40}t = 21{,}2 - 16{,}1 = 5{,}1 \Leftrightarrow t = 5{,}1 : \frac{153}{40} = \frac{4}{3} \text{ (giờ)}\] Thử lại với công thức kinh độ tại \(t = \frac{4}{3}\): \[y = 105{,}8 + \frac{9}{5} \cdot \frac{4}{3} = 105{,}8 + 2{,}4 = 108{,}2 \text{ (thỏa mãn)}\] Đổi \(\frac{4}{3} \text{ giờ} = 1 \text{ giờ } 20 \text{ phút}\).
    Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất \(\frac{4}{3}\) giờ (hoặc 1 giờ 20 phút).
  • b) Tại thời điểm \(t = 1\) giờ kể từ lúc cất cánh:
    Thay \(t = 1\) vào công thức vĩ độ \(x\): \[x = 21{,}2 - \frac{153}{40}(1) = 21{,}2 - 3{,}825 = 17{,}375^\circ \text{ Bắc}\]
    Vì máy bay bay từ Bắc xuống Nam (từ vĩ độ \(21{,}2^\circ\) giảm dần về \(16{,}1^\circ\)) và tại \(t = 1\) giờ vĩ độ của máy bay là \(17{,}375^\circ > 17^\circ\), nên máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17 (\(17^\circ\) Bắc).