Mind Map

BÀI 1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam thức bậc hai

Dạng: $f(x)=ax^2+bx+c$

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Nếu $\Delta\le 0$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$.

Nếu $\Delta>0$ thì "trong trái ngoài cùng".

Ví dụ: Phân tích đa thức bậc hai — minh họa bằng hình ảnh

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Xét dấu của mỗi đa thức bậc hai sau:

a) $f(x)=3x^2-4x+1$ b) $g(x)=9x^2+6x+1$ c) $h(x)=2x^2-3x+10$

Hãy tìm nghiệm (nếu có) và lập bảng xét dấu.

Lời giải (tóm tắt):

a) $f(x)=3x^2-4x+1$. Giải $3x^2-4x+1=0$.
$\Delta=4^2-4\cdot3\cdot1=4$. Nghiệm $x_{1,2}=\{1,\tfrac{1}{3}\}$.

x      :  -∞    1/3     1     +∞
f(x)   :   +     0     -     0     +

b) $g(x)=9x^2+6x+1=(3x+1)^2$. Nghiệm kép $x=-\tfrac{1}{3}$. → $g(x)\ge0$, dấu bằng tại $x=-\tfrac{1}{3}$.

c) $h(x)=2x^2-3x+10$, $\Delta=-71<0$. Không có nghiệm thực, $a>0$ ⇒ $h(x)>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$.

Ví dụ 2 Cho các đồ thị của các đa thức bậc hai (hình a, b, c).

Hãy tìm nghiệm và lập bảng xét dấu dựa vào hình minh họa.

Hình (a): $y = x^2 - 2x - 3$

Đồ thị hướng lên, cắt trục Ox tại $x=-1$ và $x=3$.

Hình (b): $y = -(x+1)^2 + 4$

Đỉnh $(-1,4)$, đồ thị hướng xuống.

Hình (c): $y = x^2 - 4x + 3$

Cắt trục Ox tại $x=1$ và $x=3$.

Lời giải (dựa trên hình):

a) Parabol hướng lên, cắt trục Ox tại $-1$ và $3$.

x      : -∞   -1    3    +∞
f(x)   :  +    0   -    0    +

b) Parabol hướng xuống, đỉnh ở $(-1,4)$.

c) Parabol hướng lên, cắt trục Ox tại $1$ và $3$.

x      : -∞   1     3    +∞
f(x)   :  +    0   -    0    +