GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài tập cuối chương VI

Biểu thức xác định khi và chỉ khi biểu thức dưới căn ở mẫu số dương: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).

Tập xác định của hàm số là \(D = (2; +\infty)\).

Chọn B.

Hàm số có các hệ số \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 3\).

Hoành độ đỉnh: \(x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1\).

Tung độ đỉnh: \(y_I = -(1)^2 + 2(1) + 3 = 4\).

Vậy tọa độ đỉnh của Parabol là \(I(1; 4)\).

Chọn D.

Hàm số bậc hai có hệ số \(a = 1 > 0\) và hoành độ đỉnh \(x_I = -\frac{-5}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2{,}5\).

Do \(a > 0\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; \frac{5}{2}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{5}{2}; +\infty\right)\).

Vì khoảng \((-\infty; 1)\) nằm hoàn toàn trong khoảng \(\left(-\infty; \frac{5}{2}\right)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 1)\).

Chọn C.

Tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 - 2mx + 4\) có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta' < 0\):

\[\Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot 4 = m^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow -2 < m < 2\]

Trong các phương án đưa ra, giá trị \(m = -1\) thỏa mãn \(-2 < -1 < 2\).

Chọn A.

Bình phương hai vế phương trình:

\[2x^2 - 3 = (x - 1)^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 3 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 4 = 0\]

Giải phương trình được hai nghiệm: \(x = -1 + \sqrt{5}\) và \(x = -1 - \sqrt{5}\).

Thử lại vào phương trình ban đầu (điều kiện vế phải \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)):

• Với \(x = -1 + \sqrt{5} \approx 1{,}236 > 1\): vế trái bằng \(\sqrt{2(-1+\sqrt{5})^2 - 3} = \sqrt{5}-1\), vế phải bằng \(-1+\sqrt{5}-1 = \sqrt{5}-1\) (nhận).
• Với \(x = -1 - \sqrt{5} \approx -3{,}236 < 1\): vế phải âm nên loại.

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-1 + \sqrt{5}\}\).

Chọn C.

• a) Điều kiện xác định: \[\begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x \le 5 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 5\] Tập xác định: \(D = \left[\frac{1}{2}; 5\right]\).
• b) Điều kiện xác định: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
  Tập xác định: \(D = (1; +\infty)\).

• a) \(y = -x^2 + 6x - 9\):
  • Vẽ đồ thị: Parabol có đỉnh \(I(3; 0)\), trục đối xứng \(x = 3\), bề lõm quay xuống dưới (do \(a = -1 < 0\)), giao với \(Oy\) tại \((0; -9)\).
  • Tập giá trị: \(T = (-\infty; 0]\).
  • Sự biến thiên: Đồng biến trên khoảng \((-\infty; 3)\), nghịch biến trên khoảng \((3; +\infty)\).
• b) \(y = -x^2 - 4x + 1\):
  • Vẽ đồ thị: Parabol có đỉnh \(I(-2; 5)\), trục đối xứng \(x = -2\), bề lõm quay xuống dưới, giao với \(Oy\) tại \((0; 1)\).
  • Tập giá trị: \(T = (-\infty; 5]\).
  • Sự biến thiên: Đồng biến trên khoảng \((-\infty; -2)\), nghịch biến trên khoảng \((-2; +\infty)\).
• c) \(y = x^2 + 4x\):
  • Vẽ đồ thị: Parabol có đỉnh \(I(-2; -4)\), trục đối xứng \(x = -2\), bề lõm quay lên trên (do \(a = 1 > 0\)), giao với \(Ox\) tại \((0; 0)\) và \((-4; 0)\).
  • Tập giá trị: \(T = [-4; +\infty)\).
  • Sự biến thiên: Nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -2)\), đồng biến trên khoảng \((-2; +\infty)\).
• d) \(y = 2x^2 + 2x + 1\):
  • Vẽ đồ thị: Parabol có đỉnh \(I\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), trục đối xứng \(x = -\frac{1}{2}\), bề lõm quay lên trên, giao với \(Oy\) tại \((0; 1)\).
  • Tập giá trị: \(T = \left[\frac{1}{2}; +\infty\right)\).
  • Sự biến thiên: Nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)\), đồng biến trên khoảng \(\left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)\).