📘 BÀI HỌC TOÁN 10: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Chương VII: Bất phương trình bậc hai một ẩn - Bài 18 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phương trình dạng \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn dạng \(\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}\), ta thực hiện theo các bước sau:
- **Bước 1:** Bình phương hai vế của phương trình để khử dấu căn: \[ f(x) = g(x) \]
- **Bước 2:** Giải phương trình bậc hai thu được để tìm nghiệm.
- **Bước 3:** Thử lại các giá trị tìm được vào phương trình ban đầu và kết luận tập nghiệm.
\[ \sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (\text{hoặc } g(x) \ge 0) \\ f(x) = g(x) \end{cases} \]
Việc chọn biểu thức đơn giản hơn để đặt điều kiện \(\ge 0\) giúp tránh việc phải thử lại nghiệm đối với các bài toán có chứa tham số.
2. Phương trình dạng \(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
Để giải phương trình dạng \(\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e\), ta thực hiện các bước:
- **Bước 1:** Bình phương hai vế thu được phương trình bậc hai: \[ f(x) = [g(x)]^2 \]
- **Bước 2:** Giải phương trình bậc hai này để tìm các giá trị \(x\).
- **Bước 3:** Thay các giá trị tìm được vào phương trình ban đầu (hoặc kiểm tra điều kiện \(g(x) \ge 0\)), loại bỏ các nghiệm ngoại lai và kết luận tập nghiệm.
\[ \sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases} \]
Đặc biệt lưu ý: **Bắt buộc** vế không chứa căn \(g(x)\) phải không âm (\(g(x) \ge 0\)) trước khi bình phương hai vế.
3. Tóm tắt hai dạng phương trình căn thức cơ bản
- Dạng 1: \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\)
➡ Bình phương hai vế: \(f(x) = g(x)\) ➡ Tìm nghiệm ➡ Thử lại vào phương trình ban đầu. - Dạng 2: \(\sqrt{f(x)} = g(x)\)
➡ Bình phương hai vế: \(f(x) = [g(x)]^2\) ➡ Tìm nghiệm ➡ Thử lại xem có thỏa mãn \(g(x) \ge 0\) hay không.
Phép bình phương hai vế khi chưa biết hai vế có cùng dấu hay không chỉ là **phép biến đổi hệ quả** (không phải tương đương). Khi đó có thể xuất hiện **nghiệm ngoại lai** (nghiệm không thỏa mãn phương trình gốc).
4. Ứng dụng thực tế của phương trình quy về bậc hai
Nhiều bài toán thực tế đưa về phương trình chứa căn thức thông qua các định lí hình học:
- **Định lí Pitago:** Tính khoảng cách, cạnh huyền trong tam giác vuông \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).
- **Công thức quãng đường:** Quãng đường chuyển động thẳng \(s = v \cdot t\), hoặc các bài toán chuyển động ngược dòng/xuôi dòng.
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Giải phương trình: \(\sqrt{2x^2 - 3x - 1} = \sqrt{x^2 - 2x + 5}\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\[ 2x^2 - 3x - 1 = x^2 - 2x + 5 \] \[ \iff x^2 - x - 6 = 0 \] \[ \iff \begin{bmatrix} x = 3 \\ x = -2 \end{bmatrix} \]• Với \(x = 3\): Thử lại vế trái \(\sqrt{2(3)^2 - 3(3) - 1} = \sqrt{8}\), vế phải \(\sqrt{3^2 - 2(3) + 5} = \sqrt{8}\) (Thỏa mãn).
• Với \(x = -2\): Thử lại vế trái \(\sqrt{2(-2)^2 - 3(-2) - 1} = \sqrt{13}\), vế phải \(\sqrt{(-2)^2 - 2(-2) + 5} = \sqrt{13}\) (Thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-2; 3\}\).
Giải phương trình: \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 1\).
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\[ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)^2 \] \[ \iff x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x + 1 \] \[ \iff -x = -1 \iff x = 1 \]Thử lại vào phương trình ban đầu:
• Vế trái: \(\sqrt{1^2 - 3(1) + 2} = \sqrt{0} = 0\).
• Vế phải: \(1 - 1 = 0\).
Do hai vế bằng nhau nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{1\}\).
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 2x + 3}\)
b) \(\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{2x^2 + 5x - 7}\)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{x^2 + 3x + 1} = 2x - 1\)
b) \(\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x - 3\)