Giải Bài Tập Bài 18: Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 6.20: Giải các phương trình sau:
  1. \(\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 3}\);
  2. \(\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}\);
  3. \(\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = \sqrt{-x^2 - x + 1}\);
  4. \(\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}\).
Lời giải:
  • a) \(\sqrt{3x^2 - 4x - 1} = \sqrt{2x^2 - 4x + 3}\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[3x^2 - 4x - 1 = 2x^2 - 4x + 3 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -2\] Thử lại:
    • Với \(x = 2\): vế trái bằng \(\sqrt{3(2)^2 - 4(2) - 1} = \sqrt{3}\), vế phải bằng \(\sqrt{2(2)^2 - 4(2) + 3} = \sqrt{3}\) (thỏa mãn).
    • Với \(x = -2\): vế trái bằng \(\sqrt{3(-2)^2 - 4(-2) - 1} = \sqrt{19}\), vế phải bằng \(\sqrt{2(-2)^2 - 4(-2) + 3} = \sqrt{19}\) (thỏa mãn).
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{-2; 2\}\).
  • b) \(\sqrt{x^2 + 2x - 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[x^2 + 2x - 3 = -2x^2 + 5 \Leftrightarrow 3x^2 + 2x - 8 = 0\] Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x = \frac{4}{3}\) và \(x = -2\).
    Thử lại:
    • Với \(x = \frac{4}{3}\): vế trái bằng \(\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{4}{3}\right) - 3} = \sqrt{\frac{13}{9}}\), vế phải bằng \(\sqrt{-2\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 5} = \sqrt{\frac{13}{9}}\) (thỏa mãn).
    • Với \(x = -2\): vế trái bằng \(\sqrt{(-2)^2 + 2(-2) - 3} = \sqrt{-3}\) (không xác định). Do đó loại \(x = -2\).
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{\frac{4}{3}\right\}\).
  • c) \(\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = \sqrt{-x^2 - x + 1}\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[2x^2 + 3x - 3 = -x^2 - x + 1 \Leftrightarrow 3x^2 + 4x - 4 = 0\] Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x = \frac{2}{3}\) và \(x = -2\).
    Thử lại:
    • Với \(x = \frac{2}{3}\): vế trái bằng \(\sqrt{2\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 3\left(\frac{2}{3}\right) - 3} = \sqrt{-\frac{1}{9}}\) (không xác định). Loại \(x = \frac{2}{3}\).
    • Với \(x = -2\): vế trái bằng \(\sqrt{2(-2)^2 + 3(-2) - 3} = \sqrt{-1}\) (không xác định). Loại \(x = -2\).
    Vậy phương trình vô nghiệm, \(S = \emptyset\).
  • d) \(\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[-x^2 + 5x - 4 = -2x^2 + 4x + 2 \Leftrightarrow x^2 + x - 6 = 0\] Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = -3\).
    Thử lại:
    • Với \(x = 2\): vế trái bằng \(\sqrt{-(2)^2 + 5(2) - 4} = \sqrt{2}\), vế phải bằng \(\sqrt{-2(2)^2 + 4(2) + 2} = \sqrt{2}\) (thỏa mãn).
    • Với \(x = -3\): vế trái bằng \(\sqrt{-(-3)^2 + 5(-3) - 4} = \sqrt{-28}\) (không xác định). Loại \(x = -3\).
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{2\}\).
Bài 6.21: Giải các phương trình sau:
  1. \(\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4\);
  2. \(\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x\);
  3. \(\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3\);
  4. \(\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2\).
Lời giải:
  • a) \(\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2\] \[\Leftrightarrow 6x^2 + 13x + 13 = 4x^2 + 16x + 16\] \[\Leftrightarrow 2x^2 - 3x - 3 = 0\] Giải phương trình bậc hai được: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}\).
    Thử lại vào phương trình ban đầu (chỉ chấp nhận nghiệm sao cho \(2x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -2\)):
    • Cả hai giá trị \(x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4} \approx 2{,}19\) và \(x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4} \approx -0{,}69\) đều thỏa mãn \(2x + 4 \ge 0\) và làm cho hai vế bằng nhau.
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{\frac{3 - \sqrt{33}}{4}; \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\right\}\).
  • b) \(\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 - x\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[2x^2 + 5x + 3 = (-3 - x)^2 = (x + 3)^2\] \[\Leftrightarrow 2x^2 + 5x + 3 = x^2 + 6x + 9\] \[\Leftrightarrow x^2 - x - 6 = 0\] Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x = 3\) và \(x = -2\).
    Thử lại:
    • Với \(x = 3\): vế phải bằng \(-3 - 3 = -6 < 0\) (loại).
    • Với \(x = -2\): vế trái bằng \(\sqrt{2(-2)^2 + 5(-2) + 3} = 1\), vế phải bằng \(-3 - (-2) = -1 \neq 1\) (loại).
    Vậy phương trình vô nghiệm, \(S = \emptyset\).
  • c) \(\sqrt{3x^2 - 17x + 23} = x - 3\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[3x^2 - 17x + 23 = (x - 3)^2\] \[\Leftrightarrow 3x^2 - 17x + 23 = x^2 - 6x + 9\] \[\Leftrightarrow 2x^2 - 11x + 14 = 0\] Phương trình bậc hai có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = \frac{7}{2}\).
    Thử lại:
    • Với \(x = 2\): vế phải bằng \(2 - 3 = -1 < 0\) (loại).
    • Với \(x = \frac{7}{2}\): vế trái bằng \(\sqrt{3\left(\frac{7}{2}\right)^2 - 17\left(\frac{7}{2}\right) + 23} = \frac{1}{2}\), vế phải bằng \(\frac{7}{2} - 3 = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn).
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{\frac{7}{2}\right\}\).
  • d) \(\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x - 2\):
    Bình phương hai vế của phương trình: \[-x^2 + 2x + 4 = (x - 2)^2\] \[\Leftrightarrow -x^2 + 2x + 4 = x^2 - 4x + 4\] \[\Leftrightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 2x(x - 3) = 0\] Phương trình có hai nghiệm \(x = 0\) và \(x = 3\).
    Thử lại:
    • Với \(x = 0\): vế phải bằng \(0 - 2 = -2 < 0\) (loại).
    • Với \(x = 3\): vế trái bằng \(\sqrt{-(3)^2 + 2(3) + 4} = 1\), vế phải bằng \(3 - 2 = 1\) (thỏa mãn).
    Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{3\}\).
Bài 6.22: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(AB \perp CD\); \(AB = 2\); \(BC = 13\); \(CD = 8\); \(DA = 5\) (H.6.21). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\) và đặt \(x = AH\). Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài \(x\), từ đó tính diện tích tứ giác \(ABCD\).
Lời giải:
  • Tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) (vì \(AB \perp CD \Rightarrow AH \perp HD\)).
    Áp dụng định lý Pythagore cho \(\triangle AHD\): \[HD^2 = AD^2 - AH^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2 \Rightarrow HD = \sqrt{25 - x^2}\] (ĐIều kiện: \(0 < x < 5\)).
  • Ta có \(HC = HD + DC = \sqrt{25 - x^2} + 8\).
    Mặt khác, \(HB = HA + AB = x + 2\).
  • Tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\). Áp dụng định lý Pythagore cho \(\triangle BHC\): \[HB^2 + HC^2 = BC^2\] \[\Leftrightarrow (x + 2)^2 + \left(\sqrt{25 - x^2} + 8\right)^2 = 13^2\] \[\Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 + (25 - x^2) + 16\sqrt{25 - x^2} + 64 = 169\] \[\Leftrightarrow 4x + 93 + 16\sqrt{25 - x^2} = 169\] \[\Leftrightarrow 16\sqrt{25 - x^2} = 76 - 4x\] \[\Leftrightarrow 4\sqrt{25 - x^2} = 19 - x\]
  • Bình phương hai vế phương trình trên: \[16(25 - x^2) = (19 - x)^2\] \[\Leftrightarrow 400 - 16x^2 = 361 - 38x + x^2\] \[\Leftrightarrow 17x^2 - 38x - 39 = 0\] Giải phương trình bậc hai ta được:
    \(x = 3\) hoặc \(x = -\frac{13}{17}\).
    Vì \(0 < x < 5\) nên ta chọn \(x = 3\).
  • Tính diện tích tứ giác \(ABCD\):
    Với \(x = 3 \Rightarrow HD = \sqrt{25 - 3^2} = 4\).
    • \(HC = HD + CD = 4 + 8 = 12\).
    • \(HB = AH + AB = 3 + 2 = 5\).
    Diện tích tam giác vuông \(BHC\): \(S_{\triangle BHC} = \frac{1}{2} HB \cdot HC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\).
    Diện tích tam giác vuông \(AHD\): \(S_{\triangle AHD} = \frac{1}{2} AH \cdot HD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6\).
    Diện tích tứ giác \(ABCD\) là: \[S_{ABCD} = S_{\triangle BHC} - S_{\triangle AHD} = 30 - 6 = 24\]
Bài 6.23: Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \(A\) cách lề đường một khoảng \(50\text{ m}\) để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \(B\), cách mình một đoạn \(200\text{ m}\) thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là \(5\text{ km/h}\), vận tốc xe đạp của Hùng là \(15\text{ km/h}\). Hãy xác định vị trí \(C\) trên lề đường (H.6.22) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải:
  • Đổi đơn vị vận tốc sang \(\text{m/s}\) hoặc giữ nguyên đơn vị tỉ lệ thời gian:
    Tỉ lệ vận tốc của Hùng và Minh là \(\frac{v_{Hùng}}{v_{Minh}} = \frac{15}{5} = 3\).
    Do hai bạn xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại \(C\) mà không phải chờ nhau nên thời gian đi của hai bạn bằng nhau: \[t_{Hùng} = t_{Minh} \Leftrightarrow \frac{BC}{v_{Hùng}} = \frac{AC}{v_{Minh}} \Rightarrow BC = 3 \cdot AC\]
  • Xét tam giác vuông \(AHB\) vuông tại \(H\):
    Khoảng cách từ \(A\) đến lề đường là \(AH = 50\text{ m}\).
    Khoảng cách \(AB = 200\text{ m}\).
    Độ dài đoạn \(HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{200^2 - 50^2} = \sqrt{37500} = 50\sqrt{15}\text{ m}\).
  • Đặt \(HC = x\text{ (m)}\) với \(0 \le x \le 50\sqrt{15}\).
    Trong tam giác vuông \(AHC\): \(AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{50^2 + x^2} = \sqrt{2500 + x^2}\).
    Đoạn đường Hùng đi là \(BC = HB - HC = 50\sqrt{15} - x\).
  • Thay vào mối liên hệ \(BC = 3 \cdot AC\): \[50\sqrt{15} - x = 3\sqrt{2500 + x^2}\]
  • Bình phương hai vế: \[(50\sqrt{15} - x)^2 = 9(2500 + x^2)\] \[\Leftrightarrow 37500 - 100\sqrt{15}x + x^2 = 22500 + 9x^2\] \[\Leftrightarrow 8x^2 + 100\sqrt{15}x - 15000 = 0\] \[\Leftrightarrow 2x^2 + 25\sqrt{15}x - 3750 = 0\]
  • Giải phương trình bậc hai tìm \(x\):
    \(\Delta = (25\sqrt{15})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3750) = 9375 + 30000 = 39375\).
    Do \(x > 0\) nên chọn nghiệm dương: \[x = \frac{-25\sqrt{15} + \sqrt{39375}}{4} \approx 25{,}3\text{ m}\]
  • Kết luận: Vị trí \(C\) trên lề đường cách điểm \(H\) (chân đường vuông góc hạ từ \(A\) xuống lề đường) một khoảng \(HC \approx 25{,}3\text{ m}\) (khi đó vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng \(BC = 50\sqrt{15} - 25{,}3 \approx 168{,}4\text{ m}\)).