Câu 1. Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)) có biệt thức \(\Delta = b^2 - 4ac < 0\). Mệnh đề nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai, nếu \(\Delta < 0\) thì tam thức \(f(x)\) không có nghiệm thực và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Câu 2. Cho tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Khẳng định nào sau đây **đúng**?
Giải thích: Phương trình \(x^2 - 4x + 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_1 = 1, x_2 = 3\). Hệ số \(a = 1 > 0\). Áp dụng quy tắc "trong khác, ngoài cùng": tam thức trái dấu với \(a\) (tức \(f(x) < 0\)) khi \(x\) nằm trong khoảng hai nghiệm, nghĩa là \(x \in (1; 3)\).
Câu 3. Bất phương trình \(-x^2 + 2x + 3 > 0\) có tập nghiệm là:
Giải thích: Tam thức \(f(x) = -x^2 + 2x + 3\) có hệ số \(a = -1 < 0\) và có 2 nghiệm \(x = -1, x = 3\). Ta cần tìm khoảng để \(f(x) > 0\) (trái dấu với \(a\)). Khoảng đó nằm trong hai nghiệm: \((-1; 3)\).
Câu 4. Tìm điều kiện của tham số \(m\) để tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 - 2x + m\) nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Giải thích: Vì \(a = 1 > 0\), để \(f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}\) thì cần \(\Delta' < 0 \Leftrightarrow (-1)^2 - 1 \cdot m < 0 \Leftrightarrow 1 - m < 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình \(x^2 - 6x + 9 \le 0\) là:
Giải thích: Ta có \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Biểu thức \((x - 3)^2 \le 0\) xảy ra khi và chỉ khi \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).
Câu 6. Tam thức bậc hai nào sau đây **luôn âm** với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
Giải thích: Để tam thức luôn âm (\(f(x) < 0, \forall x \in \mathbb{R}\)), cần \(a < 0\) và \(\Delta < 0\).
Xét phương án B: \(f(x) = -x^2 + x - 2\) có \(a = -1 < 0\) và \(\Delta = 1^2 - 4(-1)(-2) = -7 < 0\). Thỏa mãn.
Câu 7. Bất phương trình \(2x^2 - 5x + 2 \le 0\) có số nghiệm nguyên là:
Giải thích: Giải phương trình \(2x^2 - 5x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) hoặc \(x = 2\). Nghiệm của bất phương trình là \(\frac{1}{2} \le x \le 2\). Các nghiệm nguyên thuộc đoạn này là \(x = 1\) và \(x = 2\) (có 2 nghiệm nguyên).
Câu 8. Số giá trị nguyên của tham số \(m \in [-5; 5]\) để bất phương trình \(x^2 - 2(m + 1)x + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là:
Giải thích: Vì \(a = 1 > 0\), yêu cầu bài toán tương đương \(\Delta' < 0 \Leftrightarrow (m+1)^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow m^2 + 2m - 3 < 0 \Leftrightarrow -3 < m < 1\). Do \(m\) nguyên và \(m \in [-5; 5]\), các giá trị \(m\) thỏa mãn là \(\{-2; -1; 0\}\) (có 3 giá trị).
Câu 9. Cho biểu thức \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + x + 1}\). Tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) để \(f(x) \ge 0\) là:
Giải thích: Nhận thấy mẫu thức \(x^2 + x + 1\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = -3 < 0\) nên \(x^2 + x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow x^2 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \le -1\) hoặc \(x \ge 1\).
Câu 10 Thực tế. Lợi nhuận hằng tháng \(P(x)\) (đơn vị: triệu đồng) của một xưởng sản xuất phụ kiện điện thoại phụ thuộc vào số lượng sản phẩm \(x\) (đơn vị: trăm sản phẩm) bán ra được mô hình hóa bởi tam thức bậc hai: \(P(x) = -x^2 + 30x - 125\). Để xưởng sản xuất **có lãi** (\(P(x) > 0\)), số lượng sản phẩm bán ra hằng tháng phải nằm trong khoảng nào?
Giải thích: Xưởng có lãi khi \(P(x) > 0 \Leftrightarrow -x^2 + 30x - 125 > 0\).
Giải phương trình \(-x^2 + 30x - 125 = 0 \Rightarrow x = 5\) hoặc \(x = 25\).
Vì \(a = -1 < 0\) nên \(P(x) > 0\) khi \(5 < x < 25\).
Vì \(x\) tính theo đơn vị **trăm sản phẩm**, nên số lượng sản phẩm cần bán là từ \(500\) đến \(2500\) sản phẩm.