Bài học Toán THPT - Dấu Của Tam Thức Bậc Hai

📘 BÀI HỌC TOÁN 10: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Chương VII: Bất phương trình bậc hai một ẩn - Bài 17 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Khái niệm tam thức bậc hai

📌 Định nghĩa:

Tam thức bậc hai đối với biến \(x\) là biểu thức có dạng:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Trong đó \(a, b, c\) là các số thực cho trước với \(a \ne 0\).

  • Nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) cũng được gọi là **nghiệm của tam thức bậc hai** \(f(x)\).
  • Biệt thức \(\Delta = b^2 - 4ac\) (hoặc \(\Delta' = b'^2 - ac\)) gọi là **biệt thức của tam thức bậc hai**.
💡 Mối liên hệ với đồ thị Parabol:

Số nghiệm của tam thức chính là số giao điểm của đồ thị parabol \(y = ax^2 + bx + c\) với trục hoành \(Ox\).

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

📌 Nội dung định lí:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)), \(\Delta = b^2 - 4ac\):

  • Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) **cùng dấu với hệ số \(a\)** với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
  • Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) **cùng dấu với hệ số \(a\)** với mọi \(x \in \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{b}{2a}\right\}\); khi \(x = -\frac{b}{2a}\) thì \(f(x) = 0\).
  • Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) (\(x_1 < x_2\)):
    • \(f(x)\) **cùng dấu với hệ số \(a\)** khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2\) (ngoài khoảng hai nghiệm).
    • \(f(x)\) **trai dấu với hệ số \(a\)** khi \(x_1 < x < x_2\) (trong khoảng hai nghiệm).
💡 Quy tắc nhớ nhanh (Trường hợp \(\Delta > 0\)):

"Trong khác, ngoài cùng" — Bên Trong khoảng hai nghiệm thì KHÁC dấu với \(a\), bên Ngoài khoảng hai nghiệm thì CÙNG dấu với \(a\).

3. Các bước xét dấu tam thức bậc hai

📌 Quy trình 3 bước xét dấu:
  1. **Bước 1:** Tính \(\Delta\) (hoặc \(\Delta'\)) và tìm các nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) (nếu có).
  2. **Bước 2:** Xác định dấu của hệ số \(a\).
  3. **Bước 3:** Sử dụng định lí về dấu để lập **bảng xét dấu** và đưa ra kết luận.

4. Bất phương trình bậc hai một ẩn

📌 Khái niệm và phương pháp giải:

Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng \(ax^2 + bx + c > 0\) (hoặc \(\ge 0, < 0, \le 0\)) với \(a \ne 0\).

Phương pháp giải: Việc giải bất phương trình bậc hai thực chất là tìm các khoảng mà tam thức \(f(x) = ax^2 + bx + c\) nhận giá trị dương (\(>0\)), âm (\(<0\)), không âm (\(\ge 0\)) hoặc không dương (\(\le 0\)) bằng cách xét dấu tam thức đó.

5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện

Ví dụ 1 Xét dấu tam thức bậc hai

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)

b) \(g(x) = -x^2 + 4x - 4\)

c) \(h(x) = x^2 - 2x + 5\)

Lời giải:

a) Cho \(f(x) = 0 \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff x = 2\) hoặc \(x = 3\).

Hệ số \(a = 1 > 0\). Áp dụng quy tắc "Trong khác, ngoài cùng":

• \(f(x) > 0\) khi \(x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)\).

• \(f(x) < 0\) khi \(x \in (2; 3)\).

• \(f(x) = 0\) khi \(x = 2\) hoặc \(x = 3\).

b) Cho \(g(x) = 0 \iff -x^2 + 4x - 4 = 0 \iff x = 2\) (nghiệm kép, \(\Delta' = 0\)).

Hệ số \(a = -1 < 0\). Do đó:

• \(g(x) < 0\) với mọi \(x \ne 2\).

• \(g(x) = 0\) khi \(x = 2\).

c) Ta có \(\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot 5 = -4 < 0\).

Hệ số \(a = 1 > 0\). Vì \(\Delta' < 0\) nên \(h(x)\) luôn cùng dấu với \(a\):

• \(h(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Ví dụ 2 Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình: \(-2x^2 + 5x + 3 \ge 0\).

Lời giải:

Xét tam thức \(f(x) = -2x^2 + 5x + 3\).

Cho \(f(x) = 0 \iff -2x^2 + 5x + 3 = 0 \iff x = -\frac{1}{2}\) hoặc \(x = 3\).

Hệ số \(a = -2 < 0\). Do đó \(f(x) \ge 0\) khi \(x\) nằm trong khoảng hai nghiệm (kể cả hai nghiệm):

\[ -\frac{1}{2} \le x \le 3 \]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left[-\frac{1}{2}; 3\right]\).

Bài tập tự luyện:

Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) = -3x^2 + 2x + 1\)

b) \(g(x) = 9x^2 - 6x + 1\)

Bài 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(x^2 - 4x - 5 > 0\)

b) \(-x^2 + 3x - 4 \le 0\)