Câu 1. Trục đối xứng của parabol \(y = 2x^2 - 4x + 1\) là đường thẳng có phương trình:
Giải thích: Trục đối xứng của parabol \(y = ax^2 + bx + c\) có phương trình \(x = -\frac{b}{2a}\). Với \(a = 2, b = -4\), ta có \(x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1\).
Câu 2. Đỉnh \(I\) của parabol \(y = -x^2 + 4x - 3\) có tọa độ là:
Giải thích: Hoành độ đỉnh \(x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2\). Thay \(x = 2\) vào hàm số: \(y_I = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1\). Vậy đỉnh \(I(2; 1)\).
Câu 3. Hàm số \(y = x^2 - 6x + 5\) **đồng biến** trên khoảng nào dưới đây?
Giải thích: Hàm số có \(a = 1 > 0\) nên bề lõm quay lên trên. Hoành độ đỉnh \(x_I = -\frac{-6}{2(1)} = 3\). Do đó hàm số nghịch biến trên \((-\infty; 3)\) và đồng biến trên khoảng \((3; +\infty)\).
Câu 4. Cho hàm số \(y = -2x^2 + 8x - 1\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Vì \(a = -2 < 0\) nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. Hoành độ đỉnh \(x = -\frac{8}{2(-2)} = 2\). Giá trị lớn nhất \(y_{\max} = -2(2)^2 + 8(2) - 1 = 7\).
Câu 5. Tìm giá trị của tham số \(m\) để parabol \(y = x^2 - 2x + m\) đi qua điểm \(A(2; 5)\).
Giải thích: Thay tọa độ điểm \(A(2; 5)\) vào phương trình hàm số: \(5 = 2^2 - 2(2) + m \Leftrightarrow 5 = 4 - 4 + m \Leftrightarrow m = 5\).
Câu 6. Biết parabol \(y = ax^2 + bx + 2\) có đỉnh \(I(1; 3)\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b\) bằng:
Giải thích: Vì đỉnh \(I(1; 3)\) thuộc parabol nên thay \(x = 1, y = 3\) ta được: \(3 = a(1)^2 + b(1) + 2 \Rightarrow a + b = 1\).
Câu 7. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
\(x\) : \(-\infty\) ...... \(1\) ...... \(+\infty\)
\(y\) : \(+\infty \searrow (-2) \nearrow +\infty\)
Giải thích: Bảng biến thiên cho thấy bề lõm quay lên trên nên \(a > 0\), đỉnh có hoành độ \(x_I = 1\) và tung độ \(y_I = -2\). Kiểm tra hàm số \(y = x^2 - 2x - 1\) có \(a = 1 > 0\), \(x_I = -\frac{-2}{2} = 1\), \(y_I = 1^2 - 2(1) - 1 = -2\) (Thỏa mãn).
Câu 8. Giao điểm của parabol \(y = x^2 - 3x + 2\) với trục hoành \(Ox\) là:
Giải thích: Phương trình hoành độ giao điểm với trục \(Ox\) (\(y = 0\)): \(x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\). Tọa độ các giao điểm là \((1; 0)\) và \((2; 0)\).
Câu 9. Cho hàm số \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay xuống dưới và đỉnh nằm ở góc phần tư thứ nhất. Khẳng định nào sau đây về dấu của hệ số \(a\) và hoành độ đỉnh là đúng?
Giải thích: Bề lõm quay xuống dưới tương ứng với \(a < 0\). Đỉnh nằm ở góc phần tư thứ nhất có hoành độ dương, tức là \(x_I = -\frac{b}{2a} > 0\).
Câu 10 Thực tế. Quỹ đạo của một quả bóng đá khi được đá lên từ mặt đất được mô hình hóa bởi một hàm số bậc hai \(h(t) = -5t^2 + 20t\), trong đó \(h\) là độ cao của quả bóng so với mặt đất (đơn vị: mét) và \(t\) là thời gian kể từ khi đá (đơn vị: giây). Độ cao lớn nhất mà quả bóng đạt được là bao nhiêu mét?
Giải thích: Quỹ đạo bóng là parabol có \(a = -5 < 0\), độ cao lớn nhất đạt được tại đỉnh của parabol.
- Thời điểm đạt độ cao cực đại: \(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2\text{ (giây)}\).
- Độ cao lớn nhất: \(h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20\text{ (mét)}\).