📘 BÀI HỌC TOÁN 10: HÀM SỐ BẬC HAI
Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài 16 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm hàm số bậc hai
Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức dạng:
\[ y = ax^2 + bx + c \]Trong đó \(a, b, c\) là các số thực cho trước và \(a \ne 0\).
- Tập xác định của hàm số bậc hai luôn là \(D = \mathbb{R}\).
Nếu \(a = 0\) thì hàm số trở thành hàm số bậc nhất \(y = bx + c\) (với \(b \ne 0\)). Vì vậy điều kiện \(a \ne 0\) là bắt buộc.
2. Đồ thị của hàm số bậc hai
Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\)) là một đường **parabol** có các đặc trưng sau:
- **Đỉnh:** \(I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)\) trong đó \(\Delta = b^2 - 4ac\) (hoặc tung độ đỉnh tính bằng \(y_I = f\left(-\frac{b}{2a}\right)\)).
- **Trục đối xứng:** Đường thẳng \(x = -\frac{b}{2a}\) (đây là đường thẳng đi qua đỉnh \(I\) và song song hoặc trùng với trục \(Oy\)).
- **Bề lõm:**
- Quay lên trên nếu \(a > 0\).
- Quay xuống dưới nếu \(a < 0\).
• Giao với trục tung \(Oy\): Điểm \((0; c)\).
• Giao với trục hoành \(Ox\): Tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).
3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
Sự biến thiên của hàm số bậc hai phụ thuộc vào dấu của hệ số \(a\):
a) Trường hợp \(a > 0\):
• Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)\).
• Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)\).
• Giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số là \(y_{\text{min}} = -\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x = -\frac{b}{2a}\).
b) Trường hợp \(a < 0\):
• Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty; -\frac{b}{2a}\right)\).
• Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\frac{b}{2a}; +\infty\right)\).
• Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số là \(y_{\text{max}} = -\frac{\Delta}{4a}\) tại \(x = -\frac{b}{2a}\).
4. Các bước vẽ đồ thị Parabol
- **Bước 1:** Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\frac{b}{2a}; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\).
- **Bước 2:** Vẽ trục đối xứng \(x = -\frac{b}{2a}\).
- **Bước 3:** Xác định một số điểm cụ thể thuộc đồ thị (ví dụ: giao điểm với trục \(Oy\) là \((0; c)\), giao điểm với trục \(Ox\) nếu có, và lấy các điểm đối xứng qua trục đối xứng).
- **Bước 4:** Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã tìm, đảm bảo bề lõm quay lên trên nếu \(a > 0\) và quay xuống dưới nếu \(a < 0\).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Cho hàm số bậc hai \(y = x^2 - 4x + 3\).
a) Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol.
b) Lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) Ta có các hệ số: \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).
• Hoành độ đỉnh: \(x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\).
• Tung độ đỉnh: \(y_I = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1\).
Do đó, đỉnh của parabol là \(I(2; -1)\) và trục đối xứng là đường thẳng \(x = 2\).
b) Vì \(a = 1 > 0\) nên hàm số:
• Nghịch biến trên khoảng \((-\infty; 2)\).
• Đồng biến trên khoảng \((2; +\infty)\).
• Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(-1\) tại \(x = 2\).
Xác định hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + 2\) biết rằng đồ thị đi qua điểm \(A(1; 3)\) và có trục đối xứng \(x = 2\).
• Đồ thị đi qua điểm \(A(1; 3)\) nên thay \(x = 1, y = 3\) vào công thức ta được:
\[ a(1)^2 + b(1) + 2 = 3 \iff a + b = 1 \quad (1) \]• Đồ thị có trục đối xứng \(x = 2\), suy ra:
\[ -\frac{b}{2a} = 2 \iff -b = 4a \iff 4a + b = 0 \quad (2) \]Giải hệ phương trình \((1)\) và \((2)\):
\[ \begin{cases} a + b = 1 \\ 4a + b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 3a = -1 \\ b = 1 - a \end{cases} \iff \begin{cases} a = -\frac{1}{3} \\ b = \frac{4}{3} \end{cases} \]Vậy hàm số cần tìm là: \(y = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 2\).
Bài 1: Cho hàm số \(y = -x^2 + 2x + 3\).
a) Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng và lập bảng biến thiên của hàm số.
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\).
Bài 2: Xác định hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\) biết đồ thị hàm số có đỉnh \(I(1; -4)\) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-3\).