Giải Bài Tập Bài 16: Hàm Số Bậc Hai - Toán 10 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài 16: Hàm số bậc hai

Bài 6.7: Vẽ các parabol sau:

\(y = x^2 - 3x + 2\);
\(y = -2x^2 + 2x + 3\);
\(y = x^2 + 2x + 1\);
\(y = -x^2 + x - 1\).

Lời giải:

a) \(y = x^2 - 3x + 2\):
Đỉnh \(I\left(\frac{3}{2}; -\frac{1}{4}\right)\). Trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên bề lõm quay lên trên.
Giao với trục \(Oy\) tại \((0; 2)\); giao với trục \(Ox\) tại \((1; 0)\) và \((2; 0)\).
b) \(y = -2x^2 + 2x + 3\):
Đỉnh \(I\left(\frac{1}{2}; \frac{7}{2}\right)\). Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\).
Vì \(a = -2 < 0\) nên bề lõm quay xuống dưới.
Giao với trục \(Oy\) tại \((0; 3)\); đi qua các điểm \((-1; -1)\) và \((2; -1)\).
c) \(y = x^2 + 2x + 1\):
Đỉnh \(I(-1; 0)\). Trục đối xứng \(x = -1\).
Vì \(a = 1 > 0\) nên bề lõm quay lên trên.
Giao với trục \(Oy\) tại \((0; 1)\); tiếp xúc với trục \(Ox\) tại \((-1; 0)\); đi qua \((-2; 1)\).
d) \(y = -x^2 + x - 1\):
Đỉnh \(I\left(\frac{1}{2}; -\frac{3}{4}\right)\). Trục đối xứng \(x = \frac{1}{2}\).
Vì \(a = -1 < 0\) nên bề lõm quay xuống dưới.
Giao với trục \(Oy\) tại \((0; -1)\); không cắt trục \(Ox\) (do \(\Delta = -3 < 0\)); đi qua \((1; -1)\).

Bài 6.8: Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Lời giải:

a) \(y = x^2 - 3x + 2\):
Đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{3}{2}; +\infty\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty; \frac{3}{2}\right)\).
b) \(y = -2x^2 + 2x + 3\):
Đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)\).
c) \(y = x^2 + 2x + 1\):
Đồng biến trên khoảng \((-1; +\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -1)\).
d) \(y = -x^2 + x - 1\):
Đồng biến trên khoảng \(\left(-\infty; \frac{1}{2}\right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left(\frac{1}{2}; +\infty\right)\).

Bài 6.9: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 1\), trong mỗi trường hợp sau:

Đi qua hai điểm \(A(1; 0)\) và \(B(2; 4)\);
Đi qua điểm \(A(1; 0)\) và có trục đối xứng \(x = 1\);
Có đỉnh \(I(1; 2)\);
Đi qua điểm \(A(-1; 6)\) và có tung độ đỉnh \(-0{,}25\).

Lời giải:

a) Vì parabol đi qua \(A(1; 0)\) và \(B(2; 4)\) nên ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} a(1)^2 + b(1) + 1 = 0 \\ a(2)^2 + b(2) + 1 = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = -1 \\ 4a + 2b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \frac{5}{2} \\ b = -\frac{7}{2} \end{cases}\] Vậy parabol là \(y = \frac{5}{2}x^2 - \frac{7}{2}x + 1\).
b) Parabol đi qua \(A(1; 0) \Rightarrow a + b + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b = -1\).
Trục đối xứng \(x = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2a} = 1 \Leftrightarrow b = -2a\).
Thay \(b = -2a\) vào phương trình trên: \(a - 2a = -1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = -2\).
Vậy parabol là \(y = x^2 - 2x + 1\).
c) Đỉnh \(I(1; 2)\) có hoành độ \(x_I = 1 \Rightarrow -\frac{b}{2a} = 1 \Leftrightarrow b = -2a\).
Mặt khác, \(I(1; 2)\) thuộc parabol \Rightarrow \(a(1)^2 + b(1) + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\).
Thay \(b = -2a\) vào: \(a - 2a = 1 \Rightarrow a = -1 \Rightarrow b = 2\).
Vậy parabol là \(y = -x^2 + 2x + 1\).
d) Đi qua \(A(-1; 6) \Rightarrow a(-1)^2 + b(-1) + 1 = 6 \Leftrightarrow a - b = 5 \Rightarrow b = a - 5\).
Tung độ đỉnh \(y_I = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4a(1) - b^2}{4a} = \frac{4a - b^2}{4a} = -0{,}25 = -\frac{1}{4}\).
\(\Rightarrow 4a - b^2 = -a \Leftrightarrow 5a - b^2 = 0\).
Thay \(b = a - 5\) vào: \(5a - (a - 5)^2 = 0 \Leftrightarrow 5a - (a^2 - 10a + 25) = 0 \Leftrightarrow -a^2 + 15a - 25 = 0\).
Giải phương trình được \(a = \frac{15 \pm 5\sqrt{5}}{2}\).
• Với \(a = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2} \Rightarrow b = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}\).
• Với \(a = \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2} \Rightarrow b = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2}\).

Bài 6.10: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + c\), biết rằng parabol đó đi qua điểm \(A(8; 0)\) và có đỉnh là \(I(6; -12)\).

Lời giải:

Đỉnh \(I(6; -12)\) cho ta:
Hoành độ đỉnh: \(-\frac{b}{2a} = 6 \Rightarrow b = -12a\).
Điểm \(I(6; -12)\) thuộc parabol: \(a(6)^2 + b(6) + c = -12 \Leftrightarrow 36a + 6b + c = -12\).
Điểm \(A(8; 0)\) thuộc parabol: \(a(8)^2 + b(8) + c = 0 \Leftrightarrow 64a + 8b + c = 0\).
Thay \(b = -12a\) vào hai phương trình còn lại:
\(36a + 6(-12a) + c = -12 \Leftrightarrow -36a + c = -12 \Rightarrow c = 36a - 12\).
\(64a + 8(-12a) + c = 0 \Leftrightarrow -32a + c = 0 \Rightarrow c = 32a\).
Từ đó ta có: \(36a - 12 = 32a \Leftrightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3\).
\(\Rightarrow b = -12(3) = -36\).
\(\Rightarrow c = 32(3) = 96\).
Vậy parabol là \(y = 3x^2 - 36x + 96\).

Bài 6.11: Gọi \((P)\) là đồ thị hàm số bậc hai \(y = ax^2 + bx + c\). Hãy xác định dấu của hệ số \(a\) và biệt thức \(\Delta\), trong mỗi trường hợp sau:

\((P)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành;
\((P)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành;
\((P)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành;
\((P)\) tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải:

a) \((P)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(\Rightarrow y > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó: \(a > 0\) và \(\Delta < 0\).
b) \((P)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành \(\Rightarrow y < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó: \(a < 0\) và \(\Delta < 0\).
c) \((P)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(\Rightarrow \Delta > 0\).
Vì \((P)\) cắt trục hoành và đỉnh nằm phía dưới trục hoành nên bề lõm quay lên trên \(\Rightarrow a > 0\).
d) \((P)\) tiếp xúc với trục hoành \(\Rightarrow \Delta = 0\).
\((P)\) nằm phía trên trục hoành (bề lõm quay lên) \(\Rightarrow a > 0\).

Bài 6.12: Hai bạn An và Bình trao đổi với nhau.
An nói: Tớ đọc ở một tài liệu thấy nói rằng cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội (H.6.14) có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là \(8\text{ m}\) và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng \(0{,}5\text{ m}\) là \(2{,}93\text{ m}\). Từ đó tớ tính ra được chiều cao của cổng parabol đó là \(12\text{ m}\).
Sau một hồi suy nghĩ, Bình nói: Nếu dữ kiện như bạn nói, thì chiều cao của cổng parabol mà bạn tính ra ở trên là không chính xác.
Dựa vào thông tin mà An đọc được, em hãy tính chiều cao của cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội để xem kết quả bạn An tính được có chính xác không nhé!

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) tại một chân cổng, chân cổng còn lại nằm ở điểm có tọa độ \((8; 0)\).
Phương trình cổng parabol có dạng \(y = ax^2 + bx + c\).
Parabol đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0) \Rightarrow c = 0\).
Parabol đi qua điểm \((8; 0) \Rightarrow a(8)^2 + b(8) = 0 \Leftrightarrow 64a + 8b = 0 \Rightarrow b = -8a\).
Một điểm cách chân cổng \(0{,}5\text{ m}\) có hoành độ \(x = 0{,}5\) và tung độ \(y = 2{,}93\).
Thay vào phương trình: \(a(0{,}5)^2 + b(0{,}5) = 2{,}93 \Leftrightarrow 0{,}25a + 0{,}5b = 2{,}93\).
Thay \(b = -8a\) vào: \(0{,}25a + 0{,}5(-8a) = 2{,}93 \Leftrightarrow -3{,}75a = 2{,}93 \Rightarrow a = -\frac{293}{375}\).
\(\Rightarrow b = -8 \left(-\frac{293}{375}\right) = \frac{2344}{375}\).
Chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh \(y_I\) của parabol:
\(x_I = -\frac{b}{2a} = \frac{8}{2} = 4\text{ m}\).
\(y_I = a(4)^2 + b(4) = 16a + 4b = 16 \left(-\frac{293}{375}\right) + 4 \left(\frac{2344}{375}\right) = \frac{4688}{375} \approx 12{,}5\text{ m}\).
Kết luận: Chiều cao thực tế của cổng xấp xỉ \(12{,}5\text{ m}\). Do đó kết quả bạn An tính ra \(12\text{ m}\) là không chính xác (như bạn Bình đã nhận xét).

Bài 6.13: Bác Hùng dùng \(40\text{ m}\) lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng \(x\text{ (mét)}\) của nó.
Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là \(x\text{ (m)}\) (\(0 < x < 20\)).
Nửa chu vi mảnh vườn là \(40 : 2 = 20\text{ (m)}\).
Chiều dài của mảnh vườn là \(20 - x\text{ (m)}\).
a) Diện tích mảnh vườn theo chiều rộng \(x\) là:
\(S(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\text{ (m}^2\text{)}\).
b) Hàm số diện tích \(S(x) = -x^2 + 20x\) là hàm số bậc hai với \(a = -1 < 0\).
Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-1)} = 10\text{ (m)}\).
Khi đó, chiều rộng là \(10\text{ m}\) và chiều dài là \(20 - 10 = 10\text{ m}\).
Kết luận: Để diện tích mảnh vườn lớn nhất thì mảnh vườn là hình vuông có kích thước \(10\text{ m} \times 10\text{ m}\) (diện tích tối đa là \(100\text{ m}^2\)).

Bài 6.14: Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc \(O\) (được chọn là điểm ném) trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là một parabol có phương trình \(y = \frac{-3}{1000}x^2 + x\), trong đó \(x\text{ (mét)}\) là khoảng cách theo phương ngang trên mặt đất từ vị trí của vật đến gốc \(O\), \(y\text{ (mét)}\) là độ cao của vật so với mặt đất (H.6.15).

Tìm độ cao cực đại của vật trong quá trình bay.
Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc \(O\). Khoảng cách này gọi là tầm xa của quỹ đạo.

Lời giải:

Hàm số quỹ đạo \(y = -\frac{3}{1000}x^2 + x\) có hệ số \(a = -\frac{3}{1000} < 0\), \(b = 1\), \(c = 0\).
a) Độ cao cực đại của vật:
Độ cao cực đại đạt được tại đỉnh của parabol:
\(x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot \left(-\frac{3}{1000}\right)} = \frac{1000}{6} = \frac{500}{3} \approx 166{,}67\text{ m}\).
\(y_{max} = y\left(\frac{500}{3}\right) = -\frac{3}{1000} \cdot \left(\frac{500}{3}\right)^2 + \frac{500}{3} = \frac{250}{3} \approx 83{,}33\text{ m}\).
Vậy độ cao cực đại của vật là khoảng \(83{,}33\text{ m}\).
b) Tầm xa của quỹ đạo:
Vật chạm đất khi độ cao \(y = 0\).
\(\Rightarrow -\frac{3}{1000}x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x \left(-\frac{3}{1000}x + 1\right) = 0\).
\(\Leftrightarrow x = 0\) (điểm ném ban đầu) hoặc \(x = \frac{1000}{3} \approx 333{,}33\text{ m}\).
Vậy khoảng cách từ điểm chạm đất đến gốc \(O\) (tầm xa) là \(\frac{1000}{3}\text{ m} \approx 333{,}33\text{ m}\).