📘 BÀI HỌC TOÁN 10: HÀM SỐ
Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài 15 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm hàm số
Cho \(D \subset \mathbb{R}\), \(D \ne \emptyset\). Nếu với mỗi giá trị của \(x \in D\) có **một và chỉ một** giá trị tương ứng của \(y \in \mathbb{R}\) thì ta có một **hàm số**.
- \(x\) được gọi là **biến số**, \(y\) được gọi là **hàm số** của \(x\).
- Tập hợp \(D\) được gọi là **tập xác định** (TXĐ) của hàm số.
- Tập hợp tất cả các giá trị \(y\) nhận được tương ứng với \(x \in D\) được gọi là **tập giá trị** của hàm số.
Khi cho hàm số bằng công thức \(y = f(x)\) mà không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa.
2. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập \(D\) là tập hợp tất cả các điểm \(M(x; f(x))\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với mọi \(x \in D\).
Điểm \(M(x_0; y_0)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) khi và chỉ khi \(x_0 \in D\) và \(y_0 = f(x_0)\).
3. Sự biến thiên của hàm số (Đồng biến & Nghịch biến)
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; b)\):
- Hàm số **đồng biến (tăng)** trên khoảng \((a; b)\) nếu: \[ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2) \]
- Hàm số **nghịch biến (giảm)** trên khoảng \((a; b)\) nếu: \[ \forall x_1, x_2 \in (a; b), x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2) \]
• Nếu hàm số **đồng biến** trên khoảng \((a; b)\) thì đồ thị của nó **đi lên** từ trái sang phải.
• Nếu hàm số **nghịch biến** trên khoảng \((a; b)\) thì đồ thị của nó **đi xuống** từ trái sang phải.
4. Tóm tắt điều kiện xác định thường gặp
- Dạng phân thức \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\): Biểu thức có nghĩa \(\iff B(x) \ne 0\).
- Dạng căn thức \(\sqrt{A(x)}\): Biểu thức có nghĩa \(\iff A(x) \ge 0\).
- Dạng mẫu chứa căn \(\dfrac{A(x)}{\sqrt{B(x)}}\): Biểu thức có nghĩa \(\iff B(x) > 0\).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\)
b) \(y = \sqrt{x + 2} + \sqrt{5 - x}\)
a) Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0:
\[ x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3 \]Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
b) Hàm số xác định khi và chỉ khi các biểu thức trong căn không âm:
\[ \begin{cases} x + 2 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 5 \end{cases} \iff -2 \le x \le 5 \]Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = [-2; 5]\).
Cho hàm số \(y = f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ x^2 - 3 & \text{khi } x < 1 \end{cases}\). Tính \(f(2)\) và \(f(-2)\).
• Vì \(x = 2 \ge 1\) nên áp dụng công thức thứ nhất: \(f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5\).
• Vì \(x = -2 < 1\) nên áp dụng công thức thứ hai: \(f(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1\).
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \dfrac{x - 1}{x^2 - 4}\)
b) \(y = \dfrac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}\)
Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số \(y = f(x) = x^2 - 4x + 3\) trên khoảng \((2; +\infty)\).