GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 10 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng - Bài 15: Hàm số

• a) Ta có \(x + y = 1 \Leftrightarrow y = 1 - x\). Với mỗi giá trị của \(x\), ta xác định được duy nhất một giá trị của \(y\). Do đó, \(y\) là hàm số của \(x\).
• b) Ta có \(y = x^2\). Với mỗi giá trị của \(x\), ta xác định được duy nhất một giá trị của \(y\). Do đó, \(y\) là hàm số của \(x\).
• c) Ta có \(y^2 = x \Leftrightarrow y = \pm\sqrt{x}\) (với \(x \ge 0\)). Với mỗi giá trị \(x > 0\), ta tìm được hai giá trị khác nhau của \(y\). Do đó, \(y\) không phải là hàm số của \(x\).
• d) Ta có \(x^2 - y^2 = 0 \Leftrightarrow y^2 = x^2 \Leftrightarrow y = \pm x\). Với mỗi giá trị \(x \neq 0\), ta tìm được hai giá trị khác nhau của \(y\). Do đó, \(y\) không phải là hàm số của \(x\).

Ví dụ: Xét bảng ghi lại điểm số môn Toán của một học sinh trong 4 bài kiểm tra gần nhất:

• Tập xác định \(D\): \(D = \{1; 2; 3; 4\}\).
• Tập giá trị \(T\): \(T = \{7; 8; 9\}\).

• a) Biểu thức \(2x^3 + 3x + 1\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
  Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
• b) Biểu thức xác định khi mẫu thức khác 0:
  \(x^2 - 3x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\) và \(x \neq 2\).
  Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}\).
• c) Biểu thức xác định khi các biểu thức trong căn không âm:
  \(\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le x \le 1\).
  Tập xác định: \(D = [-1; 1]\).

• a) \(y = 2x + 3\):
  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  • Tập giá trị: Khi \(x\) nhận giá trị trên \(\mathbb{R}\) thì \(y = 2x + 3\) cũng nhận mọi giá trị thực. Do đó, tập giá trị là \(T = \mathbb{R}\).
• b) \(y = 2x^2\):
  • Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
  • Tập giá trị: Vì \(x^2 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên \(y = 2x^2 \ge 0\). Dấu "=" xảy ra khi \(x = 0\). Do đó, tập giá trị là \(T = [0; +\infty)\).

• a) \(y = -2x + 1\):
  Vẽ đồ thị: Đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \(\left(\frac{1}{2}; 0\right)\).
  Sự biến thiên: Vì hệ số \(a = -2 < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (khoảng \((-\infty; +\infty)\)). Hàm số không có khoảng đồng biến.
• b) \(y = -\frac{1}{2}x^2\):
  Vẽ đồ thị: Đồ thị là một đường Parabol có đỉnh là gốc tọa độ \(O(0; 0)\), trục đối xứng là trục tung \(Oy\), bề lõm quay xuống dưới, đi qua các điểm \((-2; -2), (-1; -0.5), (0; 0), (1; -0.5), (2; -2)\).
  Sự biến thiên:
  • Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty; 0)\).
  • Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0; +\infty)\).

• Đổi đơn vị: \(1{,}2\text{ triệu đồng} = 1200\text{ nghìn đồng}\).
  Đơn vị tiền tính bằng nghìn đồng và số ngày thuê \(x \in \mathbb{N}^*\).
• a) Viết công thức của hàm số \(T = T(x)\):
  • Nếu khách thuê \(1\) hoặc \(2\) ngày (\(1 \le x \le 2\)): \(T(x) = 1200x\).
  • Nếu khách thuê trên \(2\) ngày (\(x > 2\)):
    Số tiền 2 ngày đầu là: \(2 \times 1200 = 2400\text{ (nghìn đồng)}\).
    Số ngày thuê thêm là: \(x - 2\) (ngày).
    Tổng số tiền: \(T(x) = 2400 + 900(x - 2) = 900x + 600\text{ (nghìn đồng)}\).
  Vậy công thức hàm số là: \[T(x) = \begin{cases} 1200x & \text{nếu } 1 \le x \le 2 \\ 900x + 600 & \text{nếu } x > 2 \end{cases}\]
• b) Tính các giá trị và ý nghĩa:
  • \(T(2) = 1200 \times 2 = 2400\text{ (nghìn đồng)} = 2{,}4\text{ triệu đồng}\).
    Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 2 ngày là 2,4 triệu đồng.
  • \(T(3) = 900 \times 3 + 600 = 3300\text{ (nghìn đồng)} = 3{,}3\text{ triệu đồng}\).
    Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 3 ngày là 3,3 triệu đồng.
  • \(T(5) = 900 \times 5 + 600 = 5100\text{ (nghìn đồng)} = 5{,}1\text{ triệu đồng}\).
    Ý nghĩa: Số tiền khách phải trả khi thuê xe trong 5 ngày là 5,1 triệu đồng.