BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 94, 95)

Chọn A.

Độ chính xác \(d\) của dụng cụ đo bằng một nửa độ chia nhỏ nhất của dụng cụ đó. Thang chia của cân là \(0,2\text{ kg}\) nên độ chính xác là \(d = \frac{0,2}{2} = 0,1\text{ kg}\).

Chọn A.

Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai đại số của phương sai \(s^2\) (\(s = \sqrt{s^2}\)). Vì phương sai là các số không âm, nên nếu \(s_1^2 > s_2^2\) thì \(\sqrt{s_1^2} > \sqrt{s_2^2} \Rightarrow s_1 > s_2\). Khẳng định này là **Đúng**.

Chọn B.

Khoảng nằm giữa tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)) và tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)) chứa khoảng **50%** giá trị của mẫu số liệu. Do đó khẳng định "có 25%" là **Sai**.

Chọn D.

Số trung bình, mốt và trung vị là các số đặc trưng đo **xu thế trung tâm**. **Độ lệch chuẩn** là số đặc trưng đo **độ phân tán** của mẫu số liệu.

Chọn C.

Khi cộng tất cả các giá trị của mẫu số liệu với cùng một hằng số (0,5), toàn bộ các giá trị đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) đều tăng thêm đúng 0,5 đơn vị. Tuy nhiên, độ phân tán giữa các điểm không thay đổi, do đó **độ lệch chuẩn không thay đổi**.

• a) Trong mẫu số liệu có giá trị \(3,5\) nhỏ hơn hẳn so với các giá trị còn lại (\(9,2\); \(9,2\); \(9,5\); \(10,5\)), đây là một giá trị bất thường (dị biệt). Giá trị này làm cho số trung bình bị kéo giảm xuống không phản ánh đúng mức lương phổ biến của đa số sinh viên. Do đó, ta nên dùng **trung vị** vì trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
• b) Ta nên dùng **khoảng tứ phân vị** để đo độ phân tán. Vì khoảng biến thiên chỉ tính dựa trên giá trị lớn nhất (\(10,5\)) và giá trị nhỏ nhất (\(3,5\)) nên nó bị ảnh hưởng trực tiếp bởi giá trị bất thường \(3,5\). Trong khi đó, khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của 50% số liệu ở giữa nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường này.

Sắp xếp mẫu điểm số của 11 học sinh theo thứ tự không giảm:

• Điểm Toán: 5; 31; 37; 43; 43; 57; 62; 63; 78; 80; 91.
• Điểm Tiếng Anh: 37; 41; 49; 55; 57; 62; 64; 65; 65; 70; 73.

1. Tính các số đặc trưng của môn Toán:

• Khoảng biến thiên: \(R_{\text{Toán}} = 91 - 5 = 86\).
• Tứ phân vị: \(Q_{2(\text{Toán})} = 57\); \(Q_{1(\text{Toán})} = 37\); \(Q_{3(\text{Toán})} = 78\).
  Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{Q(\text{Toán})} = 78 - 37 = 41\).
• Điểm trung bình: \(\bar{x}_{\text{Toán}} = \frac{5 + 31 + 37 + 43 + 43 + 57 + 62 + 63 + 78 + 80 + 91}{11} = \frac{590}{11} \approx 53,64\).
  Độ lệch chuẩn: \(s_{\text{Toán}} \approx 23,82\).

2. Tính các số đặc trưng của môn Tiếng Anh:

• Khoảng biến thiên: \(R_{\text{TA}} = 73 - 37 = 36\).
• Tứ phân vị: \(Q_{2(\text{TA})} = 62\); \(Q_{1(\text{TA})} = 49\); \(Q_{3(\text{TA})} = 65\).
  Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{Q(\text{TA})} = 65 - 49 = 16\).
• Điểm trung bình: \(\bar{x}_{\text{TA}} = \frac{37 + 41 + 49 + 55 + 57 + 62 + 64 + 65 + 65 + 70 + 73}{11} = \frac{638}{11} = 58\).
  Độ lệch chuẩn: \(s_{\text{TA}} \approx 11,33\).

So sánh và Kết luận:

Ta thấy \(R_{\text{TA}} < R_{\text{Toán}}\) (\(36 < 86\)), \(\Delta_{Q(\text{TA})} < \Delta_{Q(\text{Toán})}\) (\(16 < 41\)) và \(s_{\text{TA}} < s_{\text{Toán}}\) (\(11,33 < 23,82\)). Cả ba số đo độ phân tán của môn Tiếng Anh đều nhỏ hơn môn Toán, chứng tỏ điểm môn Tiếng Anh ít bị phân tán hơn.

Vậy học sinh học đều môn Tiếng Anh hơn môn Toán.

Mẫu số liệu gồm \(n = 11\) tỉnh/thành phố, sắp xếp theo thứ tự không giảm:

• a)
  – **Số trung bình:** \[ \bar{x} = \frac{0,81 + 0,97 + 1,09 + 1,19 + 1,25 + 1,27 + 1,79 + 1,81 + 1,85 + 2,01 + 7,52}{11} = \frac{21,56}{11} = 1,96\text{ (triệu người)} \] – **Trung vị:** Do \(n = 11\) (lẻ), trung vị là giá trị ở vị trí thứ 6: \[ Q_2 = 1,27\text{ (triệu người)} \]
• b) Số trung bình (\(1,96\)) và trung vị (\(1,27\)) có sự chênh lệch lớn vì trong mẫu số liệu xuất hiện giá trị bất thường rất lớn là dân số Hà Nội (\(7,52\) triệu người), cao hơn nhiều so với các tỉnh còn lại (tỉnh đứng thứ hai là Hải Phòng cũng chỉ có \(2,01\) triệu người). Dân số Hà Nội vượt trội đã kéo số trung bình tăng cao lên.
• c) Nên sử dụng **trung vị** (\(1,27\) triệu người) để đại diện cho dân số của các tỉnh thuộc Đồng bằng Bắc Bộ vì nó phản ánh chính xác hơn quy mô dân số phổ biến của đa số các tỉnh trong vùng mà không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ của Hà Nội.

1. Đồng bằng sông Hồng (\(n_1 = 11\)):

Sắp xếp không giảm: 23; 27; 34; 35; 37; 39; 46; 54; 57; 57; 187

• Số trung bình: \(\bar{x}_1 = \frac{596}{11} \approx 54,18\).
• Trung vị: \(Q_{2(1)} = 39\).
• Tứ phân vị: \(Q_{1(1)} = 34\); \(Q_{3(1)} = 57\). Khoảng tứ phân vị \(\Delta_{Q(1)} = 57 - 34 = 23\).
• Mốt: \(M_{o(1)} = 57\) (xuất hiện 2 lần).
• Khoảng biến thiên: \(R_1 = 187 - 23 = 164\).
• Độ lệch chuẩn: \(s_1 \approx 43,49\).

2. Đồng bằng sông Cửu Long (\(n_2 = 13\)):

Sắp xếp không giảm: 15; 19; 23; 24; 24; 24; 26; 29; 33; 33; 34; 39; 42

• Số trung bình: \(\bar{x}_2 = \frac{365}{13} \approx 28,08\).
• Trung vị: \(Q_{2(2)} = 26\).
• Tứ phân vị: \(Q_{1(2)} = \frac{23 + 24}{2} = 23,5\); \(Q_{3(2)} = \frac{33 + 34}{2} = 33,5\).
  Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_{Q(2)} = 33,5 - 23,5 = 10\).
• Mốt: \(M_{o(2)} = 24\) (xuất hiện 3 lần).
• Khoảng biến thiên: \(R_2 = 42 - 15 = 27\).
• Độ lệch chuẩn: \(s_2 \approx 7,42\).

Trả lời các câu hỏi:

• b) Số trung bình có sự sai khác nhiều (\(54,18\) so với \(28,08\)) vì mẫu ĐBSH có giá trị bất thường rất lớn là Hà Nội với \(187\) trường THPT, làm kéo số trung bình của ĐBSH lên cao. Trong khi đó, trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường này.
• c) Khoảng biến thiên (\(164\) so với \(27\)) và độ lệch chuẩn (\(43,49\) so với \(7,42\)) của ĐBSH lớn hơn hẳn ĐBSC Long vì cả hai đại lượng này đều bị tác động mạnh bởi giá trị dị biệt \(187\). Ngược lại, khoảng tứ phân vị chỉ xét 50% số liệu ở giữa nên loại bỏ được ảnh hưởng của giá trị bất thường \(187\), giúp độ chênh lệch giữa hai khu vực bớt gay gắt hơn.

a) Tính các số đặc trưng:

Sắp xếp mẫu số liệu gồm 10 giá trị theo thứ tự không giảm:

• **Số trung bình:** \[ \bar{x} = \frac{5,5 + 7,4 + 10,2 + 11,0 + 11,4 + 12,2 + 12,5 + 13,1 + 13,4 + 13,8}{10} = \frac{110,5}{10} = 11,05 \]
• **Trung vị:** Do \(n = 10\) (chẵn), trung vị là trung bình cộng hai giá trị thứ 5 và 6: \[ Q_2 = \frac{11,4 + 12,2}{2} = 11,8 \]
• **Khoảng biến thiên:** \[ R = x_{\max} - x_{\min} = 13,8 - 5,5 = 8,3 \]
• **Độ lệch chuẩn:** \[ s = \sqrt{\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - 11,05)^2} \approx 2,52 \]

b) Thực hiện làm tròn và tìm sai số tuyệt đối:

• Các số liệu ban đầu đều được cho chính xác đến **hàng phần mười** (chữ số sau dấu phẩy).
• Khi làm tròn đến **hàng đơn vị**, độ chính xác của quy tắc làm tròn số là \(d = 0,5\).
• Do đó, sai số tuyệt đối \(\Delta_a = |a - \bar{a}|\) của phép làm tròn này **không vượt quá \(0,5\)**.