BÀI 4. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) kí hiệu là \(\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) kí hiệu là: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) và được tính bởi công thức:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\)
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\)
\(\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\)\(\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)\)
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có $\widehat{B} = 50^\circ$. Hãy tính các góc:
$ (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC});\; (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC});\; (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB});\; (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CB});\; (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BA}). $
Lời giải:
Vẽ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình chữ nhật và vẽ điểm $E$ sao cho $B$ là trung điểm của $AE$.
$ (\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{ABC} = 50^\circ. $
$ (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BE}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{CBE} = 130^\circ. $
$ (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = \widehat{ACB} = 40^\circ. $
$ (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 90^\circ. $
$ (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BA}) = 180^\circ - \widehat{A} = 140^\circ. $
$ (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BA}) = \widehat{BAD} = 90^\circ. $
Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh $a$ và trọng tâm $G$. Tính các tích vô hướng có hướng:
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC},\; \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB},\; \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB},\; \overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{GC},\; \overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{BC}. $
Lời giải:
G là trọng tâm của tam giác đều $ABC$ nên $GA = GB = GC = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Cách 1: Theo định nghĩa tích vô hướng:
$ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\cdot AC\cdot \cos A = a^2\cdot \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}. $
$ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB} = AC\cdot CB\cdot \cos 120^\circ = a^2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{a^2}{2}. $
$ \overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB} = AG\cdot AB\cdot \cos 30^\circ = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}\cdot a\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2}{2}. $
$ \overrightarrow{BG}\cdot\overrightarrow{GC} = BG\cdot GC\cdot \cos 120^\circ = \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{a^2}{6}. $
$ \overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{BC} = GA\cdot BC\cdot \cos 90^\circ = 0. $
Cho điểm $M$ thay đổi trên đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ ngoại tiếp tam giác đều $ABC$. Chứng minh rằng:
$ MA^2 + MB^2 + MC^2 = 6R^2. $
Lời giải:
Cách 1 (Dùng tích vô hướng):
Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp đồng thời là trọng tâm của tam giác. Khi đó:
$ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{0}. $
Ta có:
\[ MA^2 + MB^2 + MC^2 = (\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA}) + (\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MC}) \]
\[ = 3MO^2 + OA^2 + OB^2 + OC^2 + 2\overrightarrow{MO}\cdot(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) \]
\[ = 3R^2 + R^2 + R^2 + R^2 + 0 = 6R^2. \]
