BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

Gọi toạ độ vị trí (vector) các điểm: \( \vec A,\vec B,\vec C,\vec D\). Ta có \[ \vec M=\tfrac{\vec A+\vec B}{2},\quad \vec N=\tfrac{\vec C+\vec D}{2}. \] Do đó \[ \overrightarrow{MN}=\vec N-\vec M=\tfrac{\vec C+\vec D-\vec A-\vec B}{2} =\tfrac{1}{2}\big((\vec C-\vec A)+(\vec D-\vec B)\big) =\tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\big). \]

Phân tích tương tự như câu 1: \(\overrightarrow{MN}=\tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})\). Các phương án A, B, C đều có thể viết tương đương với biểu thức đúng (B và C là biến dạng tương đương). Riêng D là sai, vì \[ \tfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}) =\tfrac{1}{2}\big((\vec B-\vec A)+(\vec D-\vec C)\big) \] khác tổng \(\tfrac{1}{2}(\vec C+\vec D-\vec A-\vec B)\) nói trên nói chung.

Vì \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(\vec I=\tfrac{\vec A+\vec B}{2}\). Do đó \(\overrightarrow{IA}=\vec A-\vec I,\ \overrightarrow{IB}=\vec B-\vec I\) và tổng \[ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(\vec A-\vec I)+(\vec B-\vec I)=\vec A+\vec B-2\vec I=0. \]

Ta đã biết \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\). Vì vậy phương án C là sai (vế phải bằng 0 nhưng vế trái \(\overrightarrow{IM}\) không phải luôn bằng 0 với \(M\) tùy ý). Các phương án còn lại đúng vì liên quan đến tính chất trung điểm.

Nếu \(MB=2MC\) thì \(BM:MC=2:1\) nên \(M\) chia \(BC\) theo tỉ lệ \(2:1\) (từ B đến C), do đó \[ \vec M=\tfrac{1\cdot\vec B+2\cdot\vec C}{3}. \] Với gốc tại \(A\) (tức \(\overrightarrow{AB}=\vec B-\vec A,\ \overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A\)) ta có \[ \overrightarrow{AM}=\vec M-\vec A=\tfrac{\vec B+2\vec C-3\vec A}{3} =\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}. \]

Lấy gốc tại \(A\): \(\vec{AB}=\vec b,\ \vec{AC}=\vec c\). Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\): \(\vec M=\tfrac{\vec b+\vec c}{2}\). Vì \(I\) là trung điểm của \(AM\): \(\vec I=\tfrac{\vec A+\vec M}{2}=\tfrac{\vec b+\vec c}{4}\). Do đó \[ \overrightarrow{BI}=\vec I-\vec B=\tfrac{\vec b+\vec c}{4}-\vec b=-\tfrac{3}{4}\vec b+\tfrac{1}{4}\vec c. \] Viết theo \(\overrightarrow{BA}=-\vec b\) và \(\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b\): tìm \(x,y\) sao cho \(\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}\) dẫn tới \(y=\tfrac{1}{4},\ x=\tfrac{1}{2}\). Vậy \(\overrightarrow{BI}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\tfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\).

Lấy gốc tại \(A\): \(\vec B=\vec b,\ \vec C=\vec c\). Vì \(K\) nằm trên \(AC\) với \(AK=\tfrac{1}{3}AC\), nên \(\vec K=\tfrac{1}{3}\vec c\). Do đó \[ \overrightarrow{BK}=\vec K-\vec B=-\vec b+\tfrac{1}{3}\vec c. \] Viết dưới dạng \(x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}\) (với \(\overrightarrow{BA}=-\vec b,\ \overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b\)) ta được \(y=\tfrac{1}{3},\ x=\tfrac{2}{3}\). Vậy \(\overrightarrow{BK}=\tfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\).

Viết theo toạ độ: \((\vec A-\vec M)+3(\vec B-\vec M)=0\Rightarrow \vec A+3\vec B-4\vec M=0\). Vậy \(\vec M=\tfrac{\vec A+3\vec B}{4}\). Do đó \(AM:MB=3:1\) (từ A đến B, AM chiếm \(\tfrac{3}{4}\) AB).

Vì \(O\) là trung điểm giao của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\), nên \(\vec O=\tfrac{\vec A+\vec C}{2}\). Với bất kỳ \(M\) nào, \[ \tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}\big) =\tfrac{1}{2}\big((\vec M-\vec A)+(\vec M-\vec C)\big) =\vec M-\tfrac{\vec A+\vec C}{2}=\overrightarrow{OM}. \] Vậy phương án A đúng.

Tương tự câu 9, vì \(\vec O=\tfrac{\vec B+\vec D}{2}\) cũng đúng, nên \[ \tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{DM}\big) =\tfrac{1}{2}\big((\vec M-\vec B)+(\vec M-\vec D)\big) =\vec M-\tfrac{\vec B+\vec D}{2}=\overrightarrow{OM}. \] Vậy phương án B đúng.