BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
Tích của số \(k\) với \(\overrightarrow{a}\) kí hiệu là: \(k\overrightarrow{a}\)
Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\)) cùng phương khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh bằng $1$, trọng tâm $G$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AG}$.
Lời giải: Trong tam giác đều cạnh $1$, trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ từ đỉnh. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $AM$ là trung tuyến, $AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Vì $AG=\dfrac{2}{3}AM$ nên $$|\overrightarrow{AG}|=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$$
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$, $I$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
Lời giải: Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$. Do đó $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$ Lấy hệ tọa độ tại $A$ với $\overrightarrow{AB}=(a,0)$ và $\overrightarrow{AD}=(0,a)$, khi đó $\overrightarrow{AC}=(a,a)$. Vậy $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(a,0)+(a,a)=(2a,a),$$ và độ dài $$\big|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\big|=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}\,a.$$ (Trường hợp $a=1$ lập lại kết luận tương ứng.)
Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm $G$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} = 3\overrightarrow{CG}$.
Lời giải: Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB$ và $AC$. Vì $G$ là trọng tâm, $ \overrightarrow{CG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$. Nhân hai vế với $3$ ta được $$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CG},$$ điều phải chứng minh.
Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 9\overrightarrow{AG}$.
Lời giải: Trong hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Thay vào biểu thức: $$\overrightarrow{AB}+2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}=3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}).$$ Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$, ta có $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$. Do đó $$3(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=9\overrightarrow{AG},$$ như đề bài yêu cầu.
Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{MN}$.
Lời giải: Gọi tọa độ: $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$. Ta có $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{ND}).$$ Sau khi biến đổi và nhóm các vectơ trung điểm, ta thu được $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2(\overrightarrow{MN}).$$ (Có thể viết chi tiết bằng cách thay $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$, v.v.)
Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AM}$, và chứng minh mối liên hệ giữa $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.
Lời giải: Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, suy ra $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).$$ Như vậy $\overrightarrow{AM}$ là trung bình vectơ của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0},$$ và suy ra một hệ thức liên quan đến $M$.
Lời giải: Vì $O$ là tâm hình bình hành nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}$. Cộng lại ta được $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}.$$ Với điểm tùy ý $M$, thay $O$ bằng $M$ và viết theo vectơ từ $M$ tới các đỉnh, ta cũng có tổng bằng $\vec{0}$ do tính chất song song và bằng nhau của các cạnh trong hình bình hành.
Cho điểm $A$ và $B$. Hãy xác định điểm $M$ sao cho $2\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}$. Tìm vị trí của $M$ trên tia $AB$.
Lời giải: Ta có $2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB} \iff 2(\overrightarrow{M A}) = \overrightarrow{M B}$. Viết theo $A$ làm mốc: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AA}-\overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{AM}$ (chuyển đổi tương đương). Dễ nhận thấy $M$ phải nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $AM:MB=1:2$. Nghĩa là $M$ chia đoạn $AB$ với tỉ lệ $1:2$ từ $A$.
Cho bốn điểm $A,B,C,D$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.
Lời giải: Bắt đầu từ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, cộng hai vế với $\overrightarrow{BD}$ ta được $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}.$$ Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CB}$ (tính chất vectơ theo điểm trung chuyển), nên $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB},$$ như yêu cầu.
