BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (Sử dụng quy tắc 3 điểm với các điểm \(A,B,C\))
Giải:
Quy tắc 3 điểm: đi từ \(A\) đến \(C\) qua \(B\) là cộng hai vectơ:
\[
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
\]
Do đó đáp án A đúng.
Câu 2. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (Sử dụng quy tắc 3 điểm với \(A,B,C\))
Giải:
Từ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) suy ra
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Vì vậy đáp án A đúng.
Câu 3. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (Sử dụng quy tắc hình bình hành với \(ABCD\) là hình bình hành)
Giải:
Trong hình bình hành \(ABCD\) ta có \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\). Do đó
\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
Đáp án A đúng.
Câu 4. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (Sử dụng quy tắc trừ với \(A,B,C\))
Giải:
Vì \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\), ta có
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}.\)
Đáp án A đúng.
Câu 5. Đẳng thức nào sau đây là đúng? (Sử dụng quy tắc trừ với \(A,B,C\))
Giải:
Từ \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) suy ra
\(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\).
Đáp án C đúng.
Câu 6. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AC}\) (không dùng tọa độ).
Giải:
\(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a\). Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh kề:
\[
|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.
\]
Đáp án C đúng.
Câu 7. Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) (không dùng tọa độ).
Giải:
Trong hình vuông \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (đi từ \(A\) đến \(C\) qua \(B\)), nên độ dài bằng đường chéo:
\(|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}.\)
Đáp án B đúng.
Câu 8. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\) (không dùng tọa độ).
Giải:
Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng độ dài \(a\) và tạo với nhau góc \(60^\circ\).
Ta có
\[
|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|^2=|\overrightarrow{AB}|^2+|\overrightarrow{AC}|^2-2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos60^\circ
=a^2+a^2-2a^2\cdot\frac12=a^2.
\]
Vậy \(|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=a.\) Đáp án A đúng.
Câu 9. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) (không dùng tọa độ).
Giải:
Tương tự, với góc \(60^\circ\):
\[
|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2= a^2+a^2+2a^2\cos60^\circ =2a^2+2a^2\cdot\frac12=3a^2.
\]
Do đó \(|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{3}.\) Đáp án C đúng.
Câu 10. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) với chiều dài \(AB=2a\), chiều rộng \(BC=a\). Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\) (không dùng tọa độ).
Giải:
\(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo dài \(\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5}\,a\); \(\overrightarrow{AD}\) là cạnh rộng có độ dài \(a\) và cùng phương với chiều rộng.
Tuy nhiên thuận tiện hơn là biểu diễn tổng như tổng hai vectơ không cùng phương tạo thành một hình chữ nhật nhỏ: xét hình học ta nhận thấy
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\) tương đương với vectơ nối từ một đỉnh tới đỉnh đối diện của một hình chữ nhật có cạnh \(2a\) và \(2a\) (hai thành phần theo hai phương là \(2a\) và \(2a\)).
Do đó
\(|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}|=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}\,a.\)
Đáp án B đúng.
