Mind Map

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Tổng của hai vectơ

Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$.

Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

3. Hiệu của hai vectơ

Quy tắc trừ: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$.

4. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

VÍ DỤ – TỔNG HỢP VÀ HIỆU HAI VÉC-TƠ (phần 2)

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 11 Cho tam giác $ABC$.

a) Xác định vectơ $\vec{a}=\vec{AB}+\vec{BC}$.
b) Xác định vectơ $\vec{b}=\vec{BA}-\vec{AC}$.
c) Xác định vectơ $\vec{c}=\vec{AB}+\vec{AC}$.

Lời giải.

a) $\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$ (từ tính chất vectơ theo điểm trung chuyển).

b) $\vec{BA}-\vec{AC}= -\vec{AB}-\vec{AC}=-(\vec{AB}+\vec{AC})=-\vec{AC}+\vec{CB}$. (Biến đổi tuỳ cách trình bày.)

c) $\vec{AB}+\vec{AC}$ giữ nguyên, có thể viết theo toạ độ hoặc giữ dạng tổng.

Ví dụ 12 Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.

Lời giải.

Từ $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MB}=-(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$. Phân tích cho thấy $M$ là điểm mà vectơ $\overrightarrow{MB}$ bằng vectơ đã xác định; xét hình cụ thể, $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua trung điểm của $BC$ (hoặc điểm biểu diễn bằng các vectơ trung bình tuỳ hệ tọa độ).

— (Giải chi tiết có thể triển khai bằng tọa độ để tìm toạ độ $M$.)

Ví dụ 13 Cho tam giác $ABC$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BC}$.

Lời giải.

Viết lại các vectơ theo điểm $A$ hoặc $B$. Ví dụ viết theo $A$: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AA}-\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AM}$, tương tự với các vectơ khác. Sắp xếp và nhóm, suy ra điều kiện cho $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM},\overrightarrow{CM}$; bằng phương pháp toạ độ hoặc bằng các đẳng thức vectơ, ta tìm được vị trí của $M$ (trung điểm hay điểm phân chia tỉ lệ tuỳ yêu cầu cụ thể).

— (Dùng tọa độ để có nghiệm cụ thể.)

Ví dụ 14 Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

Lời giải.

Ta biến đổi: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CE})$$ và sắp xếp các thành phần tương ứng; hoặc cộng trừ $\overrightarrow{CB},\overrightarrow{ED}$ phù hợp để chứng minh đẳng thức. (Các bước chi tiết tuỳ cách trình bày; ý chính là đưa về cùng điểm mốc và nhóm các vectơ song song bằng nhau.)

Ví dụ 15 Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\vec{0}$.

Lời giải.

Trong hình bình hành có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$. Do đó $$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec{0}.$$

Ví dụ 16 Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\vec{0}$.

Lời giải.

Vì $M,N,P$ là trung điểm nên $$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}),\quad \overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}),\quad \overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}).$$ Cộng cả ba đẳng thức: $$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{2}\Big((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})\Big)=\vec{0}.$$ Vậy điều cần chứng minh đúng.

Ví dụ 17 Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}$.

Lời giải.

Biến đổi từng thành phần theo quy tắc vectơ: $$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE},\qquad \overrightarrow{DE}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EC}.$$ Tổ hợp các biểu thức và sắp xếp lại cho ra $\overrightarrow{AB}$ theo mốc thích hợp. (Triển khai chi tiết bằng nhóm các vectơ có cùng điểm đầu hoặc điểm cuối.)

Ví dụ 18 Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $A'B'C'D'$ có cùng tâm $O$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}=\vec{0}$.

Lời giải.

Vì $O$ là tâm hai hình bình hành nên với mỗi hình ta có tổng các vectơ từ $O$ đến 4 đỉnh bằng $\vec{0}$ (cặp đối diện cộng nhau triệt tiêu). Cộng hai đẳng thức này (nếu cần) hoặc xét từng hình một ta thấy $$\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}=\vec{0}.$$ (Chi tiết: $\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OC'}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OD'}=\vec{0}$ vì hai vectơ đối diện bằng nhau ngược chiều.)