Câu 1. Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu được tính bằng hiệu giữa:
Giải thích: Theo định nghĩa, khoảng biến thiên \(R = x_{\max} - x_{\min}\) là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu.
Câu 2. Cho mẫu số liệu: \(2; 5; 8; 11; 14\). Khoảng biến thiên \(R\) của mẫu số liệu trên bằng:
Giải thích: Ta có \(x_{\max} = 14\) và \(x_{\min} = 2\). Khoảng biến thiên là \(R = 14 - 2 = 12\).
Câu 3. Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu là đại lượng được xác định bởi công thức nào sau đây?
Giải thích: Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là \(\Delta_Q\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) và tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\): \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\).
Câu 4. Cho mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất \(Q_1 = 15\) và tứ phân vị thứ ba \(Q_3 = 28\). Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) của mẫu số liệu này là:
Giải thích: Áp dụng công thức khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 28 - 15 = 13\).
Câu 5. Độ lệch chuẩn \(s\) và phương sai \(s^2\) của cùng một mẫu số liệu liên hệ với nhau qua hệ thức nào?
Giải thích: Độ lệch chuẩn \(s\) là căn bậc hai đại số của phương sai \(s^2\): \(s = \sqrt{s^2}\).
Câu 6. Cho mẫu số liệu: \(1; 2; 3; 4; 5\). Phương sai \(s^2\) của mẫu số liệu này bằng:
Giải thích:
- Số trung bình: \(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3\).
- Phương sai: \(s^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5} = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2\).
Câu 7. Một mẫu số liệu có phương sai \(s^2 = 16\). Độ lệch chuẩn \(s\) của mẫu số liệu đó bằng:
Giải thích: Độ lệch chuẩn luôn là số không âm và bằng căn bậc hai của phương sai: \(s = \sqrt{16} = 4\).
Câu 8. Trong một mẫu số liệu, giá trị \(x\) được xem là **giá trị bất thường** (outlier) nếu \(x\) nằm ngoài khoảng nào sau đây?
Giải thích: Theo quy tắc biểu đồ hộp và khoảng tứ phân vị, một giá trị bị coi là bất thường nếu nhỏ hơn \(Q_1 - 1{,}5\Delta_Q\) hoặc lớn hơn \(Q_3 + 1{,}5\Delta_Q\).
Câu 9. Kết quả đo năng suất lúa (đơn vị: tấn/ha) của hai giống lúa A và B tại 5 vùng thử nghiệm thu được kết quả: Số trung bình năng suất của cả hai giống bằng nhau (\(\bar{x}_A = \bar{x}_B = 6{,}5\)), nhưng độ lệch chuẩn năng suất lần lượt là \(s_A = 0{,}3\) và \(s_B = 0{,}9\). Nhận xét nào sau đây đúng?
Giải thích: Độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của dữ liệu quanh số trung bình. Vì \(s_A = 0{,}3 < s_B = 0{,}9\) nên dữ liệu về năng suất của giống A ít phân tán hơn, tức là năng suất của giống lúa A ổn định hơn giống lúa B.
Câu 10 Thực tế. Một nhà đầu tư theo dõi tỉ lệ sinh lời hằng tháng (%) của hai quỹ đầu tư X và Y trong 6 tháng liên tiếp. Kết quả thu được tỉ lệ sinh lời trung bình của cả hai quỹ đều là \(2\%\)/tháng. Tuy nhiên, phương sai tỉ lệ sinh lời của quỹ X là \(s_X^2 = 0{,}25\) và của quỹ Y là \(s_Y^2 = 2{,}25\). Nhà đầu tư muốn ưu tiên **giảm thiểu rủi ro** (biến động lợi nhuận thấp) nên chọn quỹ nào?
Giải thích: Trong tài chính, phương sai và độ lệch chuẩn của tỉ lệ sinh lời đại diện cho độ rủi ro (mức độ biến động) của khoản đầu tư. Vì \(s_X^2 = 0{,}25 < s_Y^2 = 2{,}25\), mức độ phân tán lợi nhuận quanh mức trung bình của quỹ X thấp hơn nhiều so với quỹ Y, do đó quỹ X an toàn hơn và phù hợp cho nhà đầu tư muốn giảm thiểu rủi ro.