📘 BÀI HỌC TOÁN 10: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN
Chương V: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm - Bài 14 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khoảng biến thiên
Khoảng biến thiên, ký hiệu là \(R\), là hiệu số giữa giá trị lớn nhất (\(x_{\max}\)) và giá trị nhỏ nhất (\(x_{\min}\)) trong mẫu số liệu:
\[ R = x_{\max} - x_{\min} \]- Ý nghĩa: Đo mức độ biến động, độ chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của toàn bộ mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì độ phân tán của số liệu càng cao.
- Hạn chế: Chỉ phụ thuộc vào hai giá trị cực trị (\(x_{\max}\) và \(x_{\min}\)) nên rất nhạy cảm và chịu ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị bất thường.
2. Khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị, ký hiệu là \(\Delta_Q\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)) và tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)):
\[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 \]• Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của 50% số liệu chính giữa (nằm giữa \(Q_1\) và \(Q_3\)).
• Khoảng tứ phân vị **không bị ảnh hưởng** bởi các giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ), do đó được dùng để thay thế khoảng biến thiên khi mẫu số liệu có chứa các giá trị ngoại lệ.
3. Phương sai và Độ lệch chuẩn
Giả sử mẫu số liệu gồm \(n\) giá trị \(x_1, x_2, \dots, x_n\) có số trung bình là \(\bar{x}\). Phương sai được tính theo công thức:
\[ s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2}{n} \]Độ lệch chuẩn là căn bậc hai đại số của phương sai:
\[ s = \sqrt{s^2} \]• Phương sai và độ lệch chuẩn dùng để đo độ lệch của các giá trị số liệu so với số trung bình cộng \(\bar{x}\).
• Phương sai hay độ lệch chuẩn càng lớn thì các số liệu càng phân tán xa số trung bình (độ ổn định thấp); ngược lại, độ lệch chuẩn nhỏ chứng tỏ các số liệu tập trung gần số trung bình (độ ổn định cao).
• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với số liệu ban đầu (khác với phương sai có đơn vị bình phương).
4. Phát hiện giá trị bất thường (Giá trị ngoại lệ)
Trong một mẫu số liệu, một giá trị \(x\) được coi là giá trị bất thường (outlier) nếu nó nằm ngoài khoảng:
\[ \left( Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta_Q \,;\quad Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q \right) \]Nghĩa là:
\[ x < Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q \]5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Điểm thi môn Toán của 5 học sinh lần lượt là: \(6, 7, 8, 8, 9\).
1. **Khoảng biến thiên:** \(R = x_{\max} - x_{\min} = 9 - 6 = 3\).
2. **Số trung bình cộng:**
\[ \bar{x} = \frac{6 + 7 + 8 + 8 + 9}{5} = \frac{38}{5} = 7{,}6 \]3. **Phương sai (\(s^2\)):**
\[ s^2 = \frac{(6 - 7{,}6)^2 + (7 - 7{,}6)^2 + (8 - 7{,}6)^2 + (8 - 7{,}6)^2 + (9 - 7{,}6)^2}{5} \] \[ s^2 = \frac{(-1{,}6)^2 + (-0{,}6)^2 + 0{,}4^2 + 0{,}4^2 + 1{,}4^2}{5} = \frac{2{,}56 + 0{,}36 + 0{,}16 + 0{,}16 + 1{,}96}{5} = \frac{5{,}2}{5} = 1{,}04 \]4. **Độ lệch chuẩn (\(s\)):** \(s = \sqrt{1{,}04} \approx 1{,}02\).
Cho mẫu số liệu đã sắp xếp: \(2, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 35\).
• Cỡ mẫu \(n = 9\) (lẻ).
• Trung vị \(Q_2 = 15\).
• Nửa số liệu bên trái: \(2, 10, 12, 14 \Rightarrow Q_1 = \frac{10 + 12}{2} = 11\).
• Nửa số liệu bên phải: \(16, 18, 20, 35 \Rightarrow Q_3 = \frac{18 + 20}{2} = 19\).
• Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 19 - 11 = 8\).
• **Kiểm tra giá trị bất thường:**
Ngưỡng dưới: \(Q_1 - 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 11 - 1{,}5 \cdot 8 = -1\).
Ngưỡng trên: \(Q_3 + 1{,}5 \cdot \Delta_Q = 19 + 1{,}5 \cdot 8 = 31\).
Do \(35 > 31\) nên **\(35\) là một giá trị bất thường** trong mẫu số liệu trên.
Bài 1: Thời gian hoàn thành một bài kiểm tra (tính bằng phút) của hai nhóm học sinh A và B được cho như sau:
- Nhóm A: \(15, 18, 20, 22, 25\)
- Nhóm B: \(10, 15, 20, 25, 30\)
Hãy tính số trung bình và độ lệch chuẩn của từng nhóm, từ đó nhận xét xem thời gian làm bài của nhóm nào đồng đều hơn.
Bài 2: Cho mẫu số liệu: \(5, 8, 12, 14, 15, 18, 22, 45\). Hãy tìm khoảng tứ phân vị và xác định xem giá trị \(45\) có phải là giá trị bất thường hay không.