BÀI 14. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO ĐỘ PHÂN TÁN SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 92)

• (1) Sai: Khi các giá trị tập trung càng gần giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ (biểu thị độ rủi ro hay độ phân tán nhỏ).
• (2) Đúng: Khoảng biến thiên \(R = x_{\max} - x_{\min}\) chỉ tính dựa trên hai giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên bỏ qua thông tin các giá trị ở giữa.
• (3) Sai: Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) chỉ phụ thuộc vào hai tứ phân vị \(Q_1\) và \(Q_3\), không bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá nhỏ (kể cả giá trị lớn nhất và bé nhất).
• (4) Sai: Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) đo khoảng chênh lệch giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất (chứa \(50\%\) số liệu ở giữa), không phải khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu.
• (5) Đúng: Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn) đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng \(0\).

• a)
  – Khoảng biến thiên:
  Mẫu A: Giá trị nhỏ nhất là 3, lớn nhất là 9 \(\Rightarrow R_A = 9 - 3 = 6\).
  Mẫu B: Giá trị nhỏ nhất là 3, lớn nhất là 9 \(\Rightarrow R_B = 9 - 3 = 6\).
  Vậy hai mẫu số liệu có cùng khoảng biến thiên (\(R = 6\)).
  
  – Số trung bình:
  Cả hai biểu đồ đều đối xứng qua giá trị \(6\). Do đó, số trung bình của cả hai mẫu số liệu đều bằng \(6\).
  Vậy hai mẫu số liệu có cùng số trung bình (\(\bar{x} = 6\)).


• b)
  Quan sát biểu đồ ta thấy:
  – Ở mẫu A, các giá trị trải đều từ 3 đến 9.
  – Ở mẫu B, các giá trị tập trung rất nhiều xung quanh giá trị trung bình (giá trị 6 có tần số lớn nhất) và thưa dần ra hai biên.
  Vì độ phân tán của mẫu A lớn hơn mẫu B nên mẫu số liệu A có phương sai lớn hơn.

• a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2:
  – Giá trị lớn nhất, bé nhất và các tứ phân vị \(Q_1, Q_3\) đều tăng lên gấp 2 lần.
  – Khoảng biến thiên tăng lên 2 lần (\(R' = 2x_{\max} - 2x_{\min} = 2R\)).
  – Khoảng tứ phân vị tăng lên 2 lần (\(\Delta_Q' = 2Q_3 - 2Q_1 = 2\Delta_Q\)).
  – Độ lệch chuẩn tăng lên 2 lần (\(s' = 2s\)).


• b) Khi cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2:
  – Cả mẫu số liệu chỉ dịch chuyển sang phải 2 đơn vị trên trục số, độ rộng hay khoảng cách giữa các số liệu không thay đổi.
  – Khoảng biến thiên: \(R' = (x_{\max} + 2) - (x_{\min} + 2) = R\).
  – Khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q' = (Q_3 + 2) - (Q_1 + 2) = \Delta_Q\).
  – Độ lệch chuẩn: Giá trị trung bình cũng tăng thêm 2 đơn vị, nên độ chênh lệch giữa các giá trị và số trung bình giữ nguyên, suy ra độ lệch chuẩn không đổi (\(s' = s\)).
  – Vậy tất cả các số đo độ phân tán đều KHÔNG thay đổi.

• a) Vì \(Q_1 = 36\) là tứ phân vị thứ nhất (chia mẫu số liệu thành 25% phía dưới và 75% phía trên), nên có khoảng 75% số thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36.
• b) Có 50% giá trị nằm ở giữa hai tứ phân vị \(Q_1\) và \(Q_3\).
  Do đó, hai giá trị cần tìm là \(36\) và \(100\) (vì giữa \(Q_1 = 36\) và \(Q_3 = 100\) chiếm đúng 50% số liệu của mẫu).
• c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 100 - 36 = 64 \]

Sắp xếp mẫu số liệu gồm 10 giá trị (\(n = 10\)) theo thứ tự không giảm:

• Khoảng biến thiên (\(R\)): \[ R = x_{\max} - x_{\min} = 4,236 - 2,593 = 1,643\text{ (kg)} \]
• Khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\)):
  – Trung vị \(Q_2 = \frac{3,387 + 3,412}{2} = 3,3995\).
  – Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) gồm 5 giá trị: \(2,593;\ 2,977;\ 3,155;\ 3,270;\ 3,387\). Do đó tứ phân vị thứ nhất là giá trị ở giữa: \[ Q_1 = 3,155 \] – Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) gồm 5 giá trị: \(3,412;\ 3,813;\ 3,920;\ 4,042;\ 4,236\). Do đó tứ phân vị thứ ba là: \[ Q_3 = 3,920 \] – Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 3,920 - 3,155 = 0,765\text{ (kg)} \]
• Độ lệch chuẩn (\(s\)):
  – Số trung bình của mẫu: \[ \bar{x} = \frac{2,593 + 2,977 + 3,155 + 3,270 + 3,387 + 3,412 + 3,813 + 3,920 + 4,042 + 4,236}{10} = \frac{34,805}{10} = 3,4805 \] – Phương sai: \[ s^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 \approx 0,2375 \] – Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{0,2375} \approx 0,487\text{ (kg)} \]

Sắp xếp mẫu số liệu gồm 15 giá trị (\(n = 15\)) theo thứ tự không giảm:

• Xác định các tứ phân vị:
  – Vì \(n = 15\) (lẻ), trung vị \(Q_2\) là giá trị ở vị trí thứ 8: \[ Q_2 = 6,7 \] – Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là trung vị của nửa dưới gồm 7 giá trị (\(3,2\) đến \(6,0\)), nằm ở vị trí thứ 4: \[ Q_1 = 4,5 \] – Tứ phân vị thứ ba \(Q_3\) là trung vị của nửa trên gồm 7 giá trị (\(7,0\) đến \(8,7\)), nằm ở vị trí thứ 12: \[ Q_3 = 7,8 \]
• Tính khoảng tứ phân vị (\(\Delta_Q\)): \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 7,8 - 4,5 = 3,3 \]
• Xác định ngưỡng giá trị bất thường:
  Một giá trị \(x\) bị coi là bất thường (ngoại lệ) nếu: \[ x < Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q \quad \text{hoặc} \quad x > Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q \] Tính các ngưỡng:
  – Ngưỡng dưới: \[ Q_1 - 1,5 \cdot \Delta_Q = 4,5 - 1,5 \cdot 3,3 = 4,5 - 4,95 = -0,45 \] – Ngưỡng trên: \[ Q_3 + 1,5 \cdot \Delta_Q = 7,8 + 1,5 \cdot 3,3 = 7,8 + 4,95 = 12,75 \]
• Kết luận:
  Tất cả các giá trị trong mẫu số liệu đều nằm trong khoảng từ \(-0,45\) đến \(12,75\) (giá trị nhỏ nhất là \(3,2 > -0,45\) và giá trị lớn nhất là \(8,7 < 12,75\)).
  Vậy mẫu số liệu trên KHÔNG có giá trị bất thường.