📘 BÀI HỌC TOÁN 10: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
Chương V: Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm - Bài 13 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Số trung bình (Trung bình cộng)
Giả sử ta có một mẫu số liệu gồm \(n\) giá trị: \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Số trung bình của mẫu số liệu này, ký hiệu là \(\bar{x}\), được tính bằng công thức:
\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số với các giá trị \(x_1, x_2, \dots, x_k\) có tần số tương ứng là \(n_1, n_2, \dots, n_k\) (với \(n_1 + n_2 + \dots + n_k = n\)):
\[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n} \]- Ý nghĩa: Đại diện cho giá trị trung bình của toàn bộ dữ liệu, dùng để so sánh các mẫu số liệu cùng loại.
- Hạn chế: Số trung bình bị ảnh hưởng rất lớn bởi các giá trị bất thường (giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đại đa số các số liệu).
2. Trung vị (Median)
Để tìm trung vị, trước hết ta phải **sắp xếp** mẫu số liệu gồm \(n\) giá trị theo thứ tự không giảm:
\[ x_1 \le x_2 \le \dots \le x_n \]- Nếu \(n\) là **số lẻ**: Trung vị là giá trị chính giữa ở vị trí thứ \(\frac{n+1}{2}\). \[ M_e = x_{\frac{n+1}{2}} \]
- Nếu \(n\) là **số chẵn**: Trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\). \[ M_e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2} \]
3. Tứ phân vị (Quartiles)
Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần có số lượng giá trị bằng nhau, gồm 3 giá trị: \(Q_1\) (tứ phân vị thứ nhất), \(Q_2\) (tứ phân vị thứ hai), \(Q_3\) (tứ phân vị thứ ba).
- Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
- Bước 2: Tìm trung vị của cả mẫu số liệu, giá trị này chính là \(Q_2\) (\(Q_2 = M_e\)).
- Bước 3:
- \(Q_1\) là trung vị của nửa số liệu phía bên trái \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ).
- \(Q_3\) là trung vị của nửa số liệu phía bên phải \(Q_2\) (không bao gồm \(Q_2\) nếu \(n\) lẻ).
• \(Q_1\) còn gọi là *tứ phân vị dưới*, chia 25% số liệu nhỏ nhất.
• \(Q_2\) là trung vị, chia 50% số liệu.
• \(Q_3\) còn gọi là *tứ phân vị trên*, chia 75% số liệu nhỏ hơn nó.
4. Mốt (Mode)
Mốt của mẫu số liệu (ký hiệu là \(M_o\)) là giá trị xuất hiện với **tần số lớn nhất** trong mẫu số liệu đó.
- Một mẫu số liệu có thể có **một mốt**, **nhiều mốt** hoặc **không có mốt** nào (nếu tất cả các giá trị đều có tần số xuất hiện bằng nhau).
- Mốt thường được ứng dụng trong kinh doanh, thương mại (ví dụ: xác định cỡ giày, màu áo bán chạy nhất).
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Điểm kiểm tra môn Toán của một nhóm 9 học sinh lần lượt là: \(6, 7, 5, 8, 10, 9, 7, 8, 7\).
1. **Số trung bình cộng (\(\bar{x}\)):**
\[ \bar{x} = \frac{6 + 7 + 5 + 8 + 10 + 9 + 7 + 8 + 7}{9} = \frac{67}{9} \approx 7{,}44 \]2. **Tìm trung vị (\(M_e\)):**
Sắp xếp điểm số theo thứ tự không giảm: \(5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10\).
Vì \(n = 9\) (số lẻ) nên trung vị là số ở vị trí chính giữa (vị trí thứ \(\frac{9+1}{2} = 5\)).
Do đó, trung vị \(M_e = 7\).
Cho mẫu số liệu chiều cao (đơn vị: cm) của 8 vận động viên: \(175, 180, 172, 185, 180, 178, 182, 186\).
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
\[ 172,\ 175,\ 178,\ 180,\ 180,\ 182,\ 185,\ 186 \]• **Số lượng số liệu:** \(n = 8\) (chẵn).
• **Tìm \(Q_2\) (Trung vị):** \(Q_2 = \frac{180 + 180}{2} = 180\).
• **Tìm \(Q_1\):** Nửa bên trái gồm 4 số: \(172, 175, 178, 180 \Rightarrow Q_1 = \frac{175 + 178}{2} = 176{,}5\).
• **Tìm \(Q_3\):** Nửa bên phải gồm 4 số: \(180, 182, 185, 186 \Rightarrow Q_3 = \frac{182 + 185}{2} = 183{,}5\).
• **Mốt (\(M_o\)):** Giá trị \(180\) xuất hiện 2 lần (nhiều nhất) nên \(M_o = 180\).
Bài 1: Thời gian tự học mỗi ngày (tính bằng phút) của 10 học sinh được ghi lại như sau: \(45, 60, 50, 90, 60, 75, 60, 120, 80, 50\). Hãy tìm số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.
Bài 2: Cho mẫu số liệu: \(3, 5, 7, 8, 12, 15, 20, 100\). So sánh số trung bình và trung vị của mẫu số liệu. Giải thích tại sao có sự chênh lệch lớn giữa hai đại lượng này.