BÀI 13. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM SGK Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống (Trang 88)

a) Mẫu số liệu: 9; 8; 15; 8; 20 (\(n = 5\))

• Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 8; 8; 9; 15; 20.
• Số trung bình: \(\bar{x} = \frac{8 + 8 + 9 + 15 + 20}{5} = \frac{60}{5} = 12\).
• Mốt (\(M_o\)): Vì giá trị \(8\) xuất hiện nhiều nhất (\(2\) lần) nên \(M_o = 8\).
• Trung vị (\(Q_2\)): Do \(n = 5\) (lẻ), trung vị là giá trị ở vị trí thứ \(3\), tức là \(Q_2 = 9\).
• Tứ phân vị:
  – Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) là: \(8; 8\). Tứ phân vị thứ nhất \(Q_1 = \frac{8 + 8}{2} = 8\).
  – Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) là: \(15; 20\). Tứ phân vị thứ ba \(Q_3 = \frac{15 + 20}{2} = 17,5\).

b) Mẫu số liệu: 350; 300; 650; 300; 450; 500; 300; 250 (\(n = 8\))

• Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 250; 300; 300; 300; 350; 450; 500; 650.
• Số trung bình: \(\bar{x} = \frac{250 + 300 + 300 + 300 + 350 + 450 + 500 + 650}{8} = \frac{3100}{8} = 387,5\).
• Mốt (\(M_o\)): Giá trị \(300\) xuất hiện nhiều nhất (\(3\) lần), vậy \(M_o = 300\).
• Trung vị (\(Q_2\)): Do \(n = 8\) (chẵn), trung vị là trung bình cộng hai giá trị đứng ở vị trí thứ \(4\) và thứ \(5\):
  \(Q_2 = \frac{300 + 350}{2} = 325\).
• Tứ phân vị:
  – Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) là: \(250; 300; 300; 300\). Do đó \(Q_1 = \frac{300 + 300}{2} = 300\).
  – Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) là: \(350; 450; 500; 650\). Do đó \(Q_3 = \frac{450 + 500}{2} = 475\).

c) Mẫu số liệu: 36; 38; 33; 34; 32; 30; 34; 35 (\(n = 8\))

• Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 30; 32; 33; 34; 34; 35; 36; 38.
• Số trung bình: \(\bar{x} = \frac{30 + 32 + 33 + 34 + 34 + 35 + 36 + 38}{8} = \frac{272}{8} = 34\).
• Mốt (\(M_o\)): Giá trị \(34\) xuất hiện nhiều nhất (\(2\) lần), vậy \(M_o = 34\).
• Trung vị (\(Q_2\)): Do \(n = 8\) (chẵn), trung vị là trung bình cộng hai giá trị chính giữa (thứ \(4\) và thứ \(5\)):
  \(Q_2 = \frac{34 + 34}{2} = 34\).
• Tứ phân vị:
  – Nửa số liệu bên trái \(Q_2\) là: \(30; 32; 33; 34\). Do đó \(Q_1 = \frac{32 + 33}{2} = 32,5\).
  – Nửa số liệu bên phải \(Q_2\) là: \(34; 35; 36; 38\). Do đó \(Q_3 = \frac{35 + 36}{2} = 35,5\).

• a) Trong mẫu số liệu này có các giá trị bất thường vượt trội lớn hơn hẳn các giá trị còn lại (chẳng hạn như Mộc tinh có 63, Thổ tinh có 34 mặt trăng, trong khi Thủy tinh và Kim tinh có 0). Do có sự chênh lệch rất lớn (giá trị ngoại lệ), nên Trung vị (\(Q_2\)) là số đặc trưng phù hợp nhất để đo xu thế trung tâm.
  – Sắp xếp số liệu theo thứ tự tăng dần: \(0;\ 0;\ 1;\ 2;\ 13;\ 27;\ 34;\ 63\).
  – Vì \(n = 8\) (chẵn), trung vị là trung bình cộng hai giá trị thứ 4 và 5: \[ Q_2 = \frac{2 + 13}{2} = 7,5 \]
• b) Mẫu số liệu nhỏ (\(n = 5\)), không có giá trị xuất hiện nhiều lần (không có mốt) và không có giá trị bất thường (dị biệt). Do đó, Số trung bình (\(\bar{x}\)) là đại diện thích hợp nhất.
  – Giá trị số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{32 + 24 + 20 + 14 + 23}{5} = \frac{113}{5} = 22,6 \]
• c) Các giá trị chỉ số IQ phân bố khá đồng đều, không có giá trị quá chênh lệch hay dị biệt. Vì vậy, Số trung bình (\(\bar{x}\)) đo xu thế trung tâm tốt nhất.
  – Giá trị số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{60 + 72 + 63 + 83 + 68 + 74 + 90 + 86 + 74 + 80}{10} = \frac{749}{10} = 74,9 \]
• d) Trong phép đo sai số, đại lượng phản ánh độ tập trung cao nhất hoặc mức sai số phổ biến nhất chính là Mốt (\(M_o\)).
  – Trong mẫu số liệu: \(10;\ 15;\ 18;\ 15;\ 14;\ 13;\ 42;\ 15;\ 12;\ 14;\ 42\), giá trị \(15\) xuất hiện với tần số lớn nhất (\(3\) lần).
  – Do đó, Mốt là \(M_o = 15\).

Sắp xếp mẫu số liệu gồm 10 giá trị theo thứ tự không giảm:

0;  0;  0;  0;  0;  0;  0;  4;  6;  10

• a) Tính các số đặc trưng:
  – Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 6 + 10}{10} = \frac{20}{10} = 2 \] – Mốt (\(M_o\)): Số \(0\) xuất hiện nhiều nhất (\(7\) lần), do đó \(M_o = 0\).
  – Trung vị (\(Q_2\)): Do \(n = 10\) (chẵn), trung vị là trung bình cộng của 2 số chính giữa (vị trí 5 và 6): \[ Q_2 = \frac{0 + 0}{2} = 0 \] – Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)): Là trung vị của nửa số liệu phía dưới (\(0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 0\)). Do đó \(Q_1 = 0\).
  – Tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)): Là trung vị của nửa số liệu phía trên (\(0;\ 4;\ 6;\ 10\)). Do đó \(Q_3 = \frac{4 + 6}{2} = 5\).
• b) Giải thích:
  Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)) và Trung vị (\(Q_2\)) trùng nhau và đều bằng \(0\) vì hơn \(50\%\) số lượng các giá trị trong mẫu số liệu có cùng giá trị là \(0\) (cụ thể có tới \(7/10\) số trường không có học sinh giỏi Quốc gia). Sự lặp lại vượt trội của số \(0\) ở nửa đầu mẫu số liệu làm cho cả điểm chia \(25\%\) (\(Q_1\)) và điểm chia \(50\%\) (\(Q_2\)) đều rơi vào giá trị \(0\).

1. Khi chưa bỏ số liệu sân Mỹ Đình (\(n = 5\)):

Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405; 37 546.

• Số trung bình: \[ \bar{x}_{cũ} = \frac{20\ 120 + 20\ 120 + 21\ 315 + 23\ 405 + 37\ 546}{5} = \frac{122\ 506}{5} = 24\ 501,2 \]
• Trung vị: Là giá trị thứ 3: \(Q_{2\ (cũ)} = 21\ 315\).
• Mốt: Giá trị xuất hiện nhiều nhất là \(20\ 120\) (xuất hiện 2 lần), vậy \(M_{o\ (cũ)} = 20\ 120\).

2. Khi đã bỏ đi số liệu sân Mỹ Đình (\(n = 4\)):

Dãy số liệu còn lại: 20 120; 20 120; 21 315; 23 405.

• Số trung bình mới: \[ \bar{x}_{mới} = \frac{20\ 120 + 20\ 120 + 21\ 315 + 23\ 405}{4} = \frac{84\ 960}{4} = 21\ 240 \]
• Trung vị mới: Là trung bình cộng của 2 số giữa (vị trí 2 và 3): \[ Q_{2\ (mới)} = \frac{20\ 120 + 21\ 315}{2} = 20\ 717,5 \]
• Mốt mới: Giá trị xuất hiện nhiều nhất vẫn là \(20\ 120\), do đó \(M_{o\ (mới)} = 20\ 120\).

Đánh giá sự thay đổi (ảnh hưởng):

• Số trung bình: Giảm đáng kể từ \(24\ 501,2\) xuống \(21\ 240\) (giảm \(3\ 261,2\) chỗ ngồi) do bỏ đi giá trị dị biệt lớn nhất là sân Mỹ Đình (\(37\ 546\)).
• Trung vị: Giảm từ \(21\ 315\) xuống \(20\ 717,5\) (giảm \(597,5\) chỗ ngồi).
• Mốt: Không thay đổi (vẫn là \(20\ 120\)).